Define-se o produto escalar entre u=\left(x_{1}, y_{1}\right), v=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} por:
u \cdot v=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}
Dados u, v, w \in \mathbb{R}^{2} e k \in \mathbb{R} quaisquer, demonstre as seguintes propriedades algébricas do produto escalar:
(k u) \cdot v=u \cdot(k v)=k(u \cdot v)

Passo 1

O enunciado define o produto escalar em \mathbb{R}^2 por
u\cdot v = x_1x_2 + y_1y_2
para u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2), e pede para mostrar que a operação é homogênea em cada fator, i.e.,
(k\,u)\cdot v \;=\; k\,(u\cdot v) \quad\text{e}\quad u\cdot(k\,v)\;=\;k\,(u\cdot v).

Passo 2

Calcular (k\,u)\cdot v. Como k\,u = (k x_1,\,k y_1), temos
(k\,u)\cdot v = (k x_1,\,k y_1)\cdot(x_2,y_2) = (k x_1)\,x_2 + (k y_1)\,y_2.
Pelo fato de multiplicação em \mathbb{R} ser comutativa e distributiva,
(k x_1)\,x_2 + (k y_1)\,y_2 = k\,(x_1x_2) + k\,(y_1y_2) = k\,(x_1x_2 + y_1y_2) = k\,(u\cdot v).

Passo 3

Calcular u\cdot(k\,v). Como k\,v = (k x_2,\,k y_2), segue
u\cdot(k\,v) = (x_1,y_1)\cdot(k x_2,\,k y_2) = x_1\,(k x_2) + y_1\,(k y_2).
Usando novamente as propriedades de \mathbb{R},
x_1\,(k x_2) + y_1\,(k y_2) = k\,(x_1x_2) + k\,(y_1y_2) = k\,(x_1x_2 + y_1y_2) = k\,(u\cdot v).

Passo 4

Concluímos que ambas as expressões coincidem e valem k\,(u\cdot v). Em outras palavras,
(k\,u)\cdot v \;=\; u\cdot(k\,v) \;=\; k\,(u\cdot v).

Resposta

(k\,u)\cdot v = u\cdot(k\,v) = k\,(u\cdot v).

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