Para cada um dos itens a seguir, determine uma base e a dimensão do subespaço S do espaço vetorial V.
S=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) \left\lvert\, A\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right] A\right.\right\} e V=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
S = \{A\in M_2(\mathbb{R}) \mid A\,B = B\,A\},
onde
B = \begin{pmatrix}1 & -2\\[6pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Para resolver, vamos escrever um A genérico em M_2(\mathbb{R}) e impor AB=BA.]

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}.
Então
AB = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+b & -2a+3b\\[4pt]c+d & -2c+3d\end{pmatrix},
BA = \begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a-2c & b-2d\\[4pt]a+3c & b+3d\end{pmatrix}.
Igualando as entradas de AB e BA obtemos o sistema
\begin{cases} a+b = a-2c,\\[4pt] -2a+3b = b-2d,\\[4pt] c+d = a+3c,\\[4pt] -2c+3d = b+3d. \end{cases}]

Passo 3

Do primeiro e do último equações vêm
b + 2c = 0.
Da terceira vem
d = a + 2c.
Substituindo em -2a+3b = b-2d confirma-se que não surge nova relação. Logo
a,\;c\;\text{são livres},\quad b = -2c,\quad d = a+2c.ã

Passo 4

Assim qualquer A\in S tem a forma
A = \begin{pmatrix}a & -2c\\[4pt]c & a+2c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&-2\\[4pt]1&2\end{pmatrix}.
Observe que
\begin{pmatrix}0&-2\\[4pt]1&2\end{pmatrix} = B - I,
onde I é a matriz identidade. Portanto podemos escolher como base \{I,\,B\}.]

Resposta

Uma base de S é \{I,\;B\}, onde
I=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1&-2\\[4pt]1&3\end{pmatrix},
e \dim S = 2.]

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