Seja V=\mathcal{P}_{20}(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 20 com coeficientes reais. Considere as seguintes afirmações:
I. Um subconjunto de V com 20 vetores é sempre linearmente independente.
II. Um subconjunto de V com 20 vetores está sempre contido em uma base de V.
III. Um subconjunto de V com 20 vetores não gera V.
Está correto afirmar que
(A) nenhuma das afirmações é verdadeira.
(B) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
(C) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
(D) apenas a afirmação II é verdadeira.
(E) apenas a afirmação III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle V=\mathcal{P}_{20}(\mathbb{R}),
o espaço dos polinômios de grau <=20 sobre \mathbb{R}. Sabemos que \dim V = 21
porque uma base é \{1,x,x^2,\dots,x^{20}\}.
Para avaliar as afirmações, usaremos:
– o critério de dependência linear em função da dimensão,
– o fato de que só conjuntos linearmente independentes podem ser estendidos a uma base,
– e que um conjunto gera V somente se tiver pelo menos \dim V vetores.

Passo 2

A afirmação I diz que “um subconjunto de V com 20 vetores é sempre linearmente independente”.
Mas ter 20 < 21 vetores não garante independência: podemos escolher 20 vetores repetidos ou combinar de modo dependente. Por exemplo, tomar o mesmo polinômio duas vezes já produz dependência. Logo, I é falsa.

Passo 3

A afirmação II diz que “um subconjunto de V com 20 vetores está sempre contido em uma base de V”.
Só podemos estender a base um conjunto que seja linearmente independente. Como um conjunto de 20 vetores pode ser dependente (veja I), nem todo conjunto de 20 pode entrar numa base. Logo, II é falsa.

Passo 4

A afirmação III diz que “um subconjunto de V com 20 vetores não gera V”.
Um conjunto que gera V precisa ter pelo menos \dim V=21 vetores (ou mais, mas de forma a conter 21 LI). Com apenas 20 vetores, a subespécie gerada tem dimensão <=20 e jamais alcança todo V. Logo, III é verdadeira.

Resposta

(E) apenas a afirmação III é verdadeira.

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