Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 20 com coeficientes reais. Considere as seguintes afirmações:
I. Um subconjunto de
com 20 vetores é sempre linearmente independente.
II. Um subconjunto de
com 20 vetores está sempre contido em uma base de
.
III. Um subconjunto de
com 20 vetores não gera
.
Está correto afirmar que
(A) nenhuma das afirmações é verdadeira.
(B) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
(C) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
(D) apenas a afirmação II é verdadeira.
(E) apenas a afirmação III é verdadeira.
I. Um subconjunto de
II. Um subconjunto de
III. Um subconjunto de
(A) nenhuma das afirmações é verdadeira.
(B) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
(C) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
(D) apenas a afirmação II é verdadeira.
(E) apenas a afirmação III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado define
,
o espaço dos polinômios de grau sobre
. Sabemos que
porque uma base é .
Para avaliar as afirmações, usaremos:
– o critério de dependência linear em função da dimensão,
– o fato de que só conjuntos linearmente independentes podem ser estendidos a uma base,
– e que um conjunto gera somente se tiver pelo menos
vetores.
o espaço dos polinômios de grau
porque uma base é
Para avaliar as afirmações, usaremos:
– o critério de dependência linear em função da dimensão,
– o fato de que só conjuntos linearmente independentes podem ser estendidos a uma base,
– e que um conjunto gera
Passo 2
A afirmação I diz que “um subconjunto de
com 20 vetores é sempre linearmente independente”.
Mas ter 20 < 21 vetores não garante independência: podemos escolher 20 vetores repetidos ou combinar de modo dependente. Por exemplo, tomar o mesmo polinômio duas vezes já produz dependência. Logo, I é falsa.
Mas ter 20 < 21 vetores não garante independência: podemos escolher 20 vetores repetidos ou combinar de modo dependente. Por exemplo, tomar o mesmo polinômio duas vezes já produz dependência. Logo, I é falsa.
Passo 3
A afirmação II diz que “um subconjunto de
com 20 vetores está sempre contido em uma base de
”.
Só podemos estender a base um conjunto que seja linearmente independente. Como um conjunto de 20 vetores pode ser dependente (veja I), nem todo conjunto de 20 pode entrar numa base. Logo, II é falsa.
Só podemos estender a base um conjunto que seja linearmente independente. Como um conjunto de 20 vetores pode ser dependente (veja I), nem todo conjunto de 20 pode entrar numa base. Logo, II é falsa.
Passo 4
A afirmação III diz que “um subconjunto de
com 20 vetores não gera
”.
Um conjunto que gera precisa ter pelo menos
vetores (ou mais, mas de forma a conter 21 LI). Com apenas 20 vetores, a subespécie gerada tem dimensão
e jamais alcança todo
. Logo, III é verdadeira.
Um conjunto que gera
Resposta
(E) apenas a afirmação III é verdadeira.