Para cada um dos itens a seguir, determine uma base e a dimensão do subespaço S do espaço vetorial V.
S=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}2 a & a+2 b \\\\ 0 & a-b\end{array}\right] \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\} e V=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define
S = \left\{\left.\begin{pmatrix}2a & a+2b \\\\ 0 & a-b\end{pmatrix}\right|a,b\in\mathbb{R}\right\}
como subespaço de V = M_{2}(\mathbb{R}). Queremos encontrar uma base de S e sua dimensão. Vamos mostrar que todo elemento de S é combinação linear de duas matrizes e que essas duas são linearmente independentes.

Passo 2

Seja uma matriz genérica em S. Para a,b\in\mathbb{R} temos
M(a,b) = \begin{pmatrix}2a & a+2b \\[6pt] 0 & a-b\end{pmatrix}.
Podemos separar os termos que vêm de a e de b e escrever
M(a,b) = a\begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 2 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Defina as matrizes
M_{1} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad M_{2} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Então todo M(a,b)\in S satisfaz
M(a,b) = a\,M_{1} + b\,M_{2},
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S = \mathrm{span}\{M_{1},M_{2}\},
ou seja, M_{1} e M_{2} geram S.]

Passo 4

Para ver que M_{1} e M_{2} são linearmente independentes, suponha
c_{1}M_{1} + c_{2}M_{2} = 0.
O elemento (1,1) dessa soma dá 2c_{1}+0=0, então c_{1}=0. O elemento (1,2) c_{1}+2c_{2}=0, e como c_{1}=0 segue 2c_{2}=0 e c_{2}=0. Logo só existe a combinação trivial, o que mostra independência.

Passo 5

Concluímos que \{M_{1},M_{2}\} é um conjunto gerador e linearmente independente, portanto é uma base de S. Como há dois vetores na base,
\dim(S) = 2.

Resposta

Uma base de S é
\left\{\,\begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 2 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix}\right\},
e \dim(S)=2.]

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