Para cada um dos itens a seguir, determine uma base e a dimensão do subespaço S do espaço vetorial V. S=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}2 a & a+2 b \\\\ 0 & a-b\end{array}\right] \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\} e V=M_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado define
S = \left\{\left.\begin{pmatrix}2a & a+2b \\\\ 0 & a-b\end{pmatrix}\right|a,b\in\mathbb{R}\right\}
como subespaço de V = M_{2}(\mathbb{R}). Queremos encontrar uma base de S e sua dimensão. Vamos mostrar que todo elemento de S é combinação linear de duas matrizes e que essas duas são linearmente independentes.
Passo 2
Seja uma matriz genérica em S. Para a,b\in\mathbb{R} temos
Para ver que M_{1} e M_{2} são linearmente independentes, suponha
c_{1}M_{1} + c_{2}M_{2} = 0.
O elemento (1,1) dessa soma dá 2c_{1}+0=0, então c_{1}=0. O elemento (1,2) dá c_{1}+2c_{2}=0, e como c_{1}=0 segue 2c_{2}=0 e c_{2}=0. Logo só existe a combinação trivial, o que mostra independência.
Passo 5
Concluímos que \{M_{1},M_{2}\} é um conjunto gerador e linearmente independente, portanto é uma base de S. Como há dois vetores na base,