Para cada um dos itens a seguir, determine se a equação diferencial é ou não homogênea:
\frac{d y}{d t}=\frac{1+t^{2}}{3 y-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dt}=\frac{1+t^{2}}{3y-y^{2}}
e pede para determinar se essa equação é homogênea ou não.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função do lado direito é F(t,y)=\dfrac{1+t^{2}}{3y-y^{2}}.
  • A pergunta é apenas classificar se a equação é homogênea (no sentido usual para equações de primeira ordem).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “equação diferencial homogênea” no contexto de primeira ordem (a definição que normalmente é usada em provas):
  • Dizemos que uma função F(t,y) é homogênea de grau k se, para todo \lambda>0,
F(\lambda t,\lambda y)=\lambda^{k}F(t,y).
  • A equação diferencial \dfrac{dy}{dt}=F(t,y) é chamada de homogênea (no sentido clássico para ODEs de primeira ordem) quando F é homogênea de grau 0. Ou seja, quando
F(\lambda t,\lambda y)=F(t,y)\quad\text{para todo }\lambda>0.
  • Uma maneira prática e equivalente de verificar isso: se F(t,y) puder ser escrita apenas em função do quociente y/t (ou t/y), isto é, F(t,y)=G\!\big(\tfrac{y}{t}\big), então F é homogênea de grau 0.

Passo 3

Aplicar diretamente o teste de homogeneidade: calcule F(\lambda t,\lambda y). Usando F(t,y)=\dfrac{1+t^{2}}{3y-y^{2}} temos
F(\lambda t,\lambda y)=\frac{1+(\lambda t)^{2}}{3(\lambda y)-(\lambda y)^{2}} =\frac{1+\lambda^{2}t^{2}}{3\lambda y-\lambda^{2}y^{2}}.
Para que F fosse homogênea de grau 0 precisaríamos ter F(\lambda t,\lambda y)=F(t,y) para todo \lambda. Observe que, por causa do termo constante 1 no numerador, não há um fator comum de \lambda que cancele de forma a recuperar F(t,y) em geral.

Passo 4

Mostro um contraexemplo numérico simples para deixar claro que a igualdade não vale em geral. Escolha \lambda=2, t=1, y=1. Então
F(1,1)=\frac{1+1^{2}}{3\cdot1-1^{2}}=\frac{2}{2}=1,
enquanto
F(2,2)=\frac{1+2^{2}}{3\cdot2-2^{2}}=\frac{5}{2}=2{,}5.
Como F(2,2)\neq F(1,1), a condição F(\lambda t,\lambda y)=F(t,y) falha, logo F não é homogênea de grau 0.

Passo 5

Outra forma de ver rapidamente: tente a substituição y=vt (teste habitual para funções homogêneas). Substituindo,
F(t,y)=\frac{1+t^{2}}{3y-y^{2}}=\frac{1+t^{2}}{3vt - v^{2}t^{2}} =\frac{1+t^{2}}{t(3v - v^{2}t)}.
A expressão ainda depende de t além de v, ou seja, não reduz a uma função apenas de v=\tfrac{y}{t}. Isso confirma que F não é função de \tfrac{y}{t} sozinha e, portanto, não é homogênea.

Passo 6

Resumo didático e uma observação útil para a prova: a razão pela qual a presença do termo constante 1 no numerador impede homogeneidade é que homogeneidade exige que todos os termos escalaem com a mesma potência de \lambda. Aqui o numerador tem um termo que escala como \lambda^{0} (o 1) e outro como \lambda^{2} (o t^{2}), enquanto o denominador tem termos que escalam como \lambda e \lambda^{2}. Não há um único expoente comum que permita cancelar \lambda e recuperar F(t,y).

Resposta

Não é homogênea.

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