Para cada um dos itens a seguir, determine se a equação diferencial é ou não homogênea:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para determinar se essa equação é homogênea ou não.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função do lado direito é
. - A pergunta é apenas classificar se a equação é homogênea (no sentido usual para equações de primeira ordem).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “equação diferencial homogênea” no contexto de primeira ordem (a definição que normalmente é usada em provas):
- Dizemos que uma função
é homogênea de grau se, para todo ,
- A equação diferencial
é chamada de homogênea (no sentido clássico para ODEs de primeira ordem) quando é homogênea de grau . Ou seja, quando
- Uma maneira prática e equivalente de verificar isso: se
puder ser escrita apenas em função do quociente (ou ), isto é, , então é homogênea de grau .
Passo 3
Aplicar diretamente o teste de homogeneidade: calcule
. Usando
temos
Para que
fosse homogênea de grau
precisaríamos ter
para todo
. Observe que, por causa do termo constante
no numerador, não há um fator comum de
que cancele de forma a recuperar
em geral.
Passo 4
Mostro um contraexemplo numérico simples para deixar claro que a igualdade não vale em geral. Escolha
,
,
. Então
enquanto
Como
, a condição
falha, logo
não é homogênea de grau
.
Passo 5
Outra forma de ver rapidamente: tente a substituição
(teste habitual para funções homogêneas). Substituindo,
A expressão ainda depende de
além de
, ou seja, não reduz a uma função apenas de
. Isso confirma que
não é função de
sozinha e, portanto, não é homogênea.
Passo 6
Resumo didático e uma observação útil para a prova: a razão pela qual a presença do termo constante
no numerador impede homogeneidade é que homogeneidade exige que todos os termos escalaem com a mesma potência de
. Aqui o numerador tem um termo que escala como
(o
) e outro como
(o
), enquanto o denominador tem termos que escalam como
e
. Não há um único expoente comum que permita cancelar
e recuperar
.
Resposta
Não é homogênea.