Em cada um dos itens a seguir, determine a equação do plano:
que contém o ponto P=(1,3,-15) e é perpendicular à reta r(t)=(1-t, 3 t, 2-t), t \in \mathbb{R};

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por P=(1,3,-15) e é perpendicular à reta
r(t) = (1-t,\;3t,\;2-t),\quad t\in\mathbb{R}.
Para que um plano seja perpendicular a uma reta, basta tomar como vetor normal do plano o vetor diretor da reta. Em seguida, usamos a forma
n\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0
para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta derivando as componentes em função de t, ou lendo diretamente os coeficientes de t:
v = (-1,\;3,\;-1).
Esse será nosso vetor normal n.

Passo 3

Escrevemos a equação vetorial do plano usando n e o ponto P:
(-1,3,-1)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,3,-15)\bigr)=0.
Em forma escalar isso dá
-1\,(x-1)+3\,(y-3)-1\,(z+15)=0.

Passo 4

Expandindo e coletando termos:
- x +1 +3y -9 -z -15 =0 \quad\Longrightarrow\quad - x +3y -z -23=0.
Multiplicando por -1, obtemos a forma mais usual:

Resposta

x - 3y + z + 23 = 0

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