Em cada um dos planos a seguir, determine um ponto e um vetor normal. Complete o exercício com um esboço do plano.
x+2 y+6 z-12=0;

Passo 1

O enunciado nos dá o plano
x + 2y + 6z - 12 = 0
e pede (1) um ponto qualquer sobre ele, (2) um vetor normal e (3) um esboço do plano. Para isso vamos usar as propriedades da forma geral de um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Na forma geral de um plano
Ax + By + Cz + D = 0
o vetor normal é \mathbf{n} = (A, B, C).
Aqui A=1, B=2, C=6, logo
\mathbf{n} = (1,2,6).

Passo 3

Para achar um ponto no plano, basta escolher dois valores de x,y,z e resolver para o terceiro.
Se tomarmos y=0 e z=0, a equação vira
x - 12 = 0
logo x=12. Assim um ponto P no plano é
P = (12,\,0,\,0).
Podemos também obter os interceptos com os eixos:
\begin{aligned} x\text{-intercepto: }&(12,0,0),\\\ y\text{-intercepto: }&(0,6,0),\\\ z\text{-intercepto: }&(0,0,2). \end{aligned}

Passo 4

Para esboçar o plano usamos a forma de interceptos:
\frac{x}{12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{2} = 1.
Isso mostra que o plano corta os eixos x,y,z exatamente nos pontos calculados. No desenho, basta traçar os eixos coordenados, marcar os pontos (12,0,0), (0,6,0) e (0,0,2) e unir esses três pontos, obtendo um “triângulo” que representa a seção do plano.

Resposta

Um ponto no plano é P=(12,0,0).
Um vetor normal é \mathbf{n}=(1,2,6).
Para o esboço, marque nos eixos os interceptos (12,0,0), (0,6,0), (0,0,2) e una-os formando o triângulo que ilustra o plano.

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