Identifique e esboce as curvas no espaço que são imagem de cada função vetorial a seguir:
\sigma(t)=(2,1, t), t \in \mathbb{R};

Passo 1

O enunciado pede para identificar a curva em \mathbb{R}^3 cuja parametrização é
\sigma(t) = (2,1,t),\quad t\in\mathbb{R}.
O conteúdo aqui é geometria de curvas no espaço: reconhecer o tipo de curva a partir de suas componentes.

Passo 2

Escrevendo as componentes, temos
x(t)=2,\quad y(t)=1,\quad z(t)=t.
Como x e y são constantes e só z varia, a imagem de \sigma é uma reta em que x e y não mudam.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas, fixamos
x=2,\quad y=1,
logo a reta pode ser descrita como
\{(2,1,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Para esboçar, imagine no plano xy o ponto (2,1) e uma reta passando por ele paralela ao eixo z. Essa é a imagem de \sigma.

Resposta

A imagem de \sigma é a reta dada por
x=2,\quad y=1,\quad z\in\mathbb{R},
isto é, a reta paralela ao eixo z que passa em (2,1,0).

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