Identifique e esboce as curvas no espaço que são imagem de cada função vetorial a seguir:
\sigma(t)=(2 \cos t, 3 \operatorname{sen} t, 4), t \in[0,2 \pi];

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \sigma(t) = \bigl(2\cos t,\;3\sin t,\;4\bigr), t\in[0,2\pi].
O conteúdo é geometria de curvas parametrizadas no espaço. Para identificar a forma, vamos eliminar o parâmetro e ver que tipo de curva surge.

Passo 2

Observe que a terceira componente é constante:
z(t)=4\quad\forall t.
Isso significa que toda a curva está contida no plano paralelo ao plano xy situado em z=4.

Passo 3

Eliminando t entre x=2\cos t e y=3\sin t, fazemos
\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{y}{3}\Bigr)^{2} = \cos^{2}t + \sin^{2}t =1.
Logo a projeção no plano xy é a elipse
\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1.

Passo 4

Quanto à orientação, em t=0 temos \sigma(0)=(2,0,4). Conforme t cresce de 0 a 2\pi, o ponto percorre a elipse no sentido anti-horário (visto de cima, no eixo z>0).
Esboço (visão de cima e lateral):
  • É uma elipse centrada na origem do plano z=4.
  • Semi-eixo maior de comprimento 3 ao longo do eixo y.
  • Semi-eixo menor de comprimento 2 ao longo do eixo x.
  • Percurso anti-horário.

Resposta

A imagem de \sigma é a elipse
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1
no plano z=4, percorrida uma vez no sentido anti-horário.

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