Em cada um dos itens a seguir, determine a equação do plano:
que contém o ponto P=(1,-1,2) e a reta x-1=y=2 z;

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém o ponto P=(1,-1,2) e a reta dada em forma simétrica por x-1=y=2z. O conteúdo é geometria analítica no espaço: para determinar o plano basta encontrar um vetor normal a ele. Sabemos que, se v é o vetor diretor da reta e w é o vetor que liga um ponto da reta até P, então o produto vetorial v\times w é normal ao plano.

Passo 2

Escrevemos a reta em forma paramétrica. Seja t=x-1=y=2z. Então
x=1+t,\quad y=t,\quad z=\tfrac t2.

Passo 3

Um ponto da reta é, por exemplo, A=(1,0,0) (obtido para t=0) e o vetor diretor é
v=(1,1,\tfrac12).

Passo 4

Montamos o vetor que liga A a P:
\overrightarrow{AP}=P-A=(1-1,\,-1-0,\,2-0)=(0,-1,2).

Passo 5

Calculamos o produto vetorial
n=\overrightarrow{AP}\times v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&-1&2\\\\ 1&1&\tfrac12 \end{vmatrix} =(-\tfrac12-2)\,\mathbf{i}-\bigl(0-\!2\bigr)\,\mathbf{j}+(0-\!(-1))\,\mathbf{k} =(-\tfrac52,2,1).
Para evitar frações, multiplicamos por 2 e obtemos um normal equivalente
n=(-5,4,2).

Passo 6

A equação do plano usando n e o ponto A é
n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad (-5,4,2)\cdot(x-1,y,z)=0
-5(x-1)+4y+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad 5x-4y-2z=5.

Resposta

5x-4y-2z=5

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