\int \frac{e^{2 x}}{1+e^{2 x}} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\,dx
Esse é um caso clássico para usar substituição simples, já que a derivada de 1+e^{2x} aparece (até um fator constante) no numerador.

Passo 2

Definimos
u = 1 + e^{2x}.
Então,
du = 2e^{2x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}\,dx = \frac12\,du.
Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\Bigl(\frac12\,du\Bigr) = \frac12 \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert + C.
Logo,
\frac12 \int \frac{1}{u}\,du = \frac12 \ln\lvert u\rvert + C.

Passo 4

Voltando à variável x, como u = 1+e^{2x} e 1+e^{2x}>0, podemos escrever
\frac12 \ln\lvert u\rvert + C = \frac12 \ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac12\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) + C

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