Em cada um dos itens a seguir, determine a equação do plano:
que passa pela origem e é paralelo ao plano x+y-z-10=0;

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano em \mathbb{R}^3 que passa pela origem e é paralelo ao plano dado. O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço, em particular a determinação de planos paralelos: dois planos em \mathbb{R}^3 são paralelos se, e somente se, têm o mesmo vetor normal.

Passo 2

O plano dado é
x + y - z - 10 = 0,
cujo vetor normal é
\mathbf{n} = (1,\,1,\,-1).
Logo, o plano procurado terá a mesma normal, de modo que sua equação geral é
1\cdot x + 1\cdot y + (-1)\cdot z + D = 0,
ou seja
x + y - z + D = 0.

Passo 3

Como o plano deve passar pela origem (0,0,0), basta substituir esses valores na equação para determinar D:
0 + 0 - 0 + D = 0 \quad\Longrightarrow\quad D = 0.

Resposta

x + y - z = 0

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