Em cada um dos itens a seguir, determine a equação do plano:
que contém a reta r(t)=(1+2 t, 2+t,-2+2 t), t \in \mathbb{R}, e é paralelo ao plano 3 x+ 2 y-4 z=0 ;

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta
r(t)=(1+2t,\;2+t,\;-2+2t),\quad t\in\mathbb{R},
e que seja paralelo ao plano
3x+2y-4z=0.
Vamos usar que planos paralelos têm vetores normais paralelos e que, para conter uma reta, toda parametrização dessa reta deve satisfazer a equação do plano.

Passo 2

Como o plano dado tem vetor normal
\mathbf{n}=(3,2,-4),
o plano procurado, por ser paralelo, terá a mesma forma geral de equação, só podendo diferir por um termo constante. Logo, sua equação genérica é
3x+2y-4z+D=0,
onde D é uma constante a determinar.

Passo 3

Para que esse plano contenha a reta r(t), todo ponto (x,y,z)=(1+2t,\,2+t,\,-2+2t) deve satisfazer
3x+2y-4z+D=0.
Substituindo x=1+2t, y=2+t, z=-2+2t nessa equação, obtemos
3(1+2t)+2(2+t)-4(-2+2t)+D=0.

Passo 4

Calculemos o valor numérico:
3+6t+4+2t+8-8t+D=0 \quad\Longrightarrow\quad (3+4+8)+(6t+2t-8t)+D=0 \quad\Longrightarrow\quad 15+D=0.
Daí segue D=-15.

Resposta

3x+2y-4z-15=0.

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