Em cada um dos planos a seguir, determine um ponto e um vetor normal. Complete o exercício com um esboço do plano.
x+6 y-12=0;

Passo 1

O enunciado pede, no espaço \mathbb{R}^3, um ponto qualquer que satisfaça a equação do plano
x + 6y - 12 = 0,
um vetor normal a esse plano e um esboço da sua posição. Vamos usar a forma geral de um plano e a interpretação geométrica de coeficientes.

Passo 2

Para qualquer plano dado por
ax + by + cz + d = 0
o vetor normal é simplesmente
\mathbf{n} = (a,\,b,\,c).
Aqui temos a=1, b=6 e c=0. Logo
\mathbf{n} = (1,\,6,\,0).

Passo 3

Para encontrar um ponto P=(x_0,y_0,z_0) que satisfaça x+6y-12=0, basta escolher valores convenientes para duas variáveis e resolver a terceira. Por exemplo, tomemos y_0=0 e z_0=0. Então
x_0 + 6\cdot 0 - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = 12.
Assim, um ponto do plano é
P = (12,\,0,\,0).

Passo 4

O esboço do plano se baseia na reta de interseção com o plano z=0, dada por x+6y-12=0 no plano xy, e sua extensão paralela ao eixo z. No plano xy, essa reta passa em (12,0) e em (0,2). O plano é essa reta “erguida” na direção do eixo z.
Esboço aproximado (vista isométrica):
y

2\cdot───────· (0,2,0)───────────┐
│ /│ │
│ / │ │
│ / │ │
│ / │ │
·────────┴───────────────────·── x
(12,0,0) → z (plano vertical)

Resposta

Um ponto no plano é P=(12,0,0) e um vetor normal é \mathbf{n}=(1,6,0).

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