\int \frac{x^{2}}{1+2 x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{1+2x^{3}} \,dx
O conteúdo principal aqui é o método de substituição, pois vemos uma expressão do tipo x^{2} em cima e uma função de x^{3} no denominador. Vamos escolher uma substituição que torne o denominador mais simples.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 1 + 2x^{3},
temos
du = 6x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{6}\,du.
Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{x^{2}}{1+2x^{3}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\Bigl(\frac{1}{6}\,du\Bigr) = \frac{1}{6}\,\int \frac{du}{u}.

Passo 3

Agora basta integrar em u:
\frac{1}{6}\,\int \frac{du}{u} = \frac{1}{6}\,\ln\bigl|u\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original x, lembramos que u = 1 + 2x^{3}. Logo, a primitiva é
\frac{1}{6}\,\ln\bigl|1 + 2x^{3}\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{1+2x^{3}}\,dx = \frac{1}{6}\,\ln\bigl|1 + 2x^{3}\bigr| + C.

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