Em cada um dos itens a seguir, determine as equações cartesianas e equações paramétricas para retas no plano satisfazendo as condições dadas.
que passa pelo ponto (3,1) e tem inclinação -2 .

Passo 1

O enunciado pede a reta no plano que passa por (3,1) e tem inclinação -2. O conteúdo é geometria analítica, e vamos usar:
– a forma ponto-inclinação para obter a equação cartesiana;
– o vetor diretor associado à inclinação para escrever a forma paramétrica.

Passo 2

Usamos a forma ponto-inclinação
y - y_{0} = m\,(x - x_{0})
com (x_{0},y_{0})=(3,1) e m=-2:
y - 1 = -2\,(x - 3).
Desenvolvendo,
y - 1 = -2x + 6
2x + y - 7 = 0
ou isolando y:
y = -2x + 7.

Passo 3

A inclinação m=-2 equivale ao vetor diretor \bigl(1,-2\bigr), pois \frac{\Delta y}{\Delta x}=-2. Tomando parâmetro t, a forma vetorial é
(x,y) = (3,1) + t\,(1,-2).
Isto gera as equações paramétricas
\begin{cases} x = 3 + t,\\\ y = 1 - 2t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A equação cartesiana pode ser escrita como
y-1=-2(x-3)\;\Longleftrightarrow\;2x+y-7=0\;\Longleftrightarrow\;y=-2x+7.
As equações paramétricas são
\begin{cases} x = 3 + t,\\\ y = 1 - 2t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.

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