Em cada um dos itens a seguir, determine as equações cartesianas e equações paramétricas para retas no plano satisfazendo as condições dadas.
que passa pelo ponto (-1,4) e é paralela ao vetor (3,2).

Passo 1

O enunciado pede as equações cartesianas e paramétricas da reta no plano que passa por (-1,4) e é paralela ao vetor (3,2). Esse conteúdo é geometria analítica: vamos usar a forma ponto-direção para escrever as equações paramétricas e, em seguida, eliminar o parâmetro para obter a forma cartesiana.

Passo 2

Como a reta passa por (x_0,y_0)=(-1,4) e tem vetor diretor \vec v=(a,b)=(3,2), suas equações paramétricas são
x = x_0 + a\,t,\quad y = y_0 + b\,t,\quad t\in\mathbb{R}.
Substituindo os valores:
x = -1 + 3t,\quad y = 4 + 2t.

Passo 3

Para obter a equação cartesiana na forma simétrica, basta isolar t em cada expressão:
t = \frac{x+1}{3}, \quad t = \frac{y-4}{2},
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\frac{x+1}{3} = \frac{y-4}{2}.

Passo 4

Podemos reescrever essa forma simétrica na forma geral Ax+By+C=0. Basta multiplicar ambos os lados por 6 e reorganizar:
2(x+1) = 3(y-4)
2x + 2 = 3y - 12
2x - 3y + 14 = 0.

Resposta

Equações paramétricas:
x = -1 + 3t,\quad y = 4 + 2t,\quad t\in\mathbb{R}.
Equação cartesiana simétrica:
\frac{x+1}{3} = \frac{y-4}{2}.
Forma geral:
2x - 3y + 14 = 0.

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