Em cada um dos itens a seguir, determine as equações cartesianas e equações paramétricas para retas no plano satisfazendo as condições dadas.
que passa pelo ponto (1,-1) e é paralela à reta 2 x+3 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por (1,-1) e é paralela à reta
2x+3y=0.
Para isso vamos usar que duas retas são paralelas se têm o mesmo vetor normal ou, equivalente, o mesmo vetor diretor.

Passo 2

Da equação
2x+3y=0
vemos que um vetor normal é \mathbf{n}=(2,3). Logo, a forma geral de uma reta paralela a essa é
2x+3y+C=0,
onde C é constante a determinar.

Passo 3

Para que a reta passe por (1,-1) devemos ter
2\cdot1+3\cdot(-1)+C=0
ou seja
2-3+C=0\quad\Longrightarrow\quad C=1.
Portanto a equação cartesiana final é
2x+3y+1=0.

Passo 4

Um vetor diretor \mathbf{d} de qualquer reta cuja normal é (2,3) pode ser obtido trocando-se as componentes e invertendo-se o sinal de uma delas. Por exemplo
\mathbf{d}=(3,-2),
pois 2\cdot3+3\cdot(-2)=0.
Assim, usando o ponto (1,-1) e o parâmetro t, as equações paramétricas são
\begin{cases} x=1+3t,\\\ y=-1-2t. \end{cases}

Resposta

Equação cartesiana:
2x+3y+1=0.
Equações paramétricas:
\begin{cases} x=1+3t,\\\ y=-1-2t. \end{cases}

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