Em cada um dos itens a seguir, determine as equações cartesianas e equações paramétricas para retas no plano satisfazendo as condições dadas.
que passa pelo ponto (1,-1) e é perpendicular à reta 3 x-2 y=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana e a forma paramétrica da reta que passa por (1,-1) e é perpendicular à reta dada por
3x - 2y = 1.
O conteúdo aqui é equações de reta no plano, uso de coeficiente angular e condição de perpendicularidade.

Passo 2

Encontramos o coeficiente angular da reta dada escrevendo-a em forma explicita. De
3x - 2y = 1
vem
-2y = -3x + 1\quad\Longrightarrow\quad y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}.
Logo o coeficiente angular da reta original é
m_1 = \frac{3}{2}.

Passo 3

Para que uma reta seja perpendicular a outra, seu coeficiente angular m deve satisfazer
m \cdot m_1 = -1.
Assim
m = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\tfrac{3}{2}} = -\frac{2}{3}.

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da equação de reta, que é
y - y_0 = m\bigl(x - x_0\bigr),
com (x_0,y_0)=(1,-1) e m=-\tfrac{2}{3}:
y + 1 = -\tfrac{2}{3}\,(x - 1).
Multiplicando ambos os lados por 3 e rearranjando para ax+by+c=0:
3(y + 1) = -2(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad 3y + 3 = -2x + 2 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 3y + 1 = 0.
Esta é a equação cartesiana da reta procurada.

Passo 5

Para a forma paramétrica, escolhemos um vetor diretor da reta. Como o coeficiente angular é -\tfrac{2}{3}, um vetor diretor é
v = \bigl(3,\,-2\bigr)
(que satisfaz -2/3 = -2/3). Partindo do ponto (1,-1) e usando parâmetro t\in\mathbb{R}, temos
\begin{cases} x = 1 + 3t,\\\ y = -1 - 2t. \end{cases}

Resposta

Equação cartesiana:
2x + 3y + 1 = 0.
Equações paramétricas:
x = 1 + 3t,\quad y = -1 - 2t,\quad t\in\mathbb{R}.

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