Em cada um dos itens a seguir, determine as equações cartesianas e equações paramétricas para retas no plano satisfazendo as condições dadas.
que passa pela origem e faz um ângulo de \pi / 6 \mathrm{rad} com o eixo das ordenadas.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa pela origem e forma um ângulo de \pi/6 com o eixo das ordenadas (vertical). Para achar sua equação vamos relacionar esse ângulo com o coeficiente angular m da reta. Se a reta faz ângulo \alpha com o eixo y, então o ângulo que ela faz com o eixo x é
\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha \quad\text{(rotação no sentido horário)}çãá
ou
\theta = \frac{\pi}{2} + \alpha \quad\text{(rotação no sentido anti-horário).}çãá
Como \alpha=\pi/6, teremos duas direções possíveis de reta. Lembrando que o coeficiente angular é m=\tan(\theta).

Passo 2

Calculemos m nas duas situações:
\theta_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad m_1 = \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\sqrt{3},
\theta_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad m_2 = \tan\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=-\sqrt{3}.

Passo 3

As equações cartesianas das duas retas que passam em (0,0) e têm esses coeficientes angulares são
\text{1.}\quad y = \sqrt{3}\,x, \qquad \text{2.}\quad y = -\sqrt{3}\,x.
Em forma geral, podem ser escritas como
\text{1.}\quad \sqrt{3}\,x - y = 0, \qquad \text{2.}\quad \sqrt{3}\,x + y = 0.

Passo 4

Para cada reta, basta um vetor diretor proporcional a (1,m_i) e o ponto (0,0). Assim as equações paramétricas são:
1. Para m_1=\sqrt{3}:
x(t)=t,
y(t)=\sqrt{3}\,t.
2. Para m_2=-\sqrt{3}:
x(t)=t,
y(t)=-\sqrt{3}\,t.

Resposta

  1. Equação cartesiana: y=\sqrt{3}\,x\). Equação paramétrica: \[\begin{cases} x(t)=t,\\\ y(t)=\sqrt{3}\,t. \end{cases}
  2. Equação cartesiana: (y=-\sqrt{3},x].
    Equação paramétrica:
    \begin{cases} x(t)=t,\\\ y(t)=-\sqrt{3}\,t. \end{cases}

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