Em cada um dos itens a seguir, determine as equações cartesianas e equações paramétricas para retas no plano satisfazendo as condições dadas.
que passa pelo ponto (-1,2) e faz um ângulo de \pi / 3 rad com a reta \sqrt{3} x-3 y+3=0.

Passo 1

O enunciado pede as equações cartesianas e paramétricas das retas que passam por (-1,2) e formam ângulo \pi/3 com a reta
\sqrt{3}\,x \;-\; 3\,y \;+\; 3 \;=\; 0.
Para resolver, vamos (1) obter o coeficiente angular m_1 da reta dada, (2) usar a fórmula do ângulo entre retas em termos de coeficientes angulares e (3) encontrar as duas soluções para o coeficiente angular m da reta procurada.

Passo 2

Reescrevendo a reta dada em forma y = m_1 x + b, temos
\sqrt{3}\,x - 3\,y + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{\sqrt{3}}{3}\,x + 1.
Logo, o coeficiente angular é
m_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 3

Seja m o coeficiente angular da reta que buscamos. A fórmula da tangente do ângulo \theta entre duas retas de coeficientes angulares m e m_1 é
\tan(\theta) = \left|\frac{m - m_1}{1 + m\,m_1}\right|.
Queremos \theta = \pi/3, portanto
\left|\frac{m - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + m\,\frac{\sqrt{3}}{3}}\right| = \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \sqrt{3}.

Passo 4

Resolvendo
\frac{m - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\,m} = \pm \sqrt{3},
obtemos duas situações:
  1. Para o sinal “ +”, o denominador anula-se 1 -1=0, indicando reta vertical:
m = \infty \quad\Longrightarrow\quad x = -1.
  1. Para o sinal “ -”, resolvendo dá
m = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 5

Assim, as equações cartesianas são:
\text{Reta (a)}:\; x = -1, \qquad \text{Reta (b)}:\; y - 2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}\,\bigl(x + 1\bigr).
Podemos reescrever (b) em forma geral multiplicando por 3:
\sqrt{3}\,x + 3\,y + \sqrt{3} - 6 = 0.

Passo 6

As equações paramétricas ficam:
\text{Reta (a)}:\quad \begin{cases} x(t) = -1,\\\ y(t) = 2 + t, \end{cases} \qquad \text{Reta (b)}:\quad \begin{cases} x(t) = -1 + t,\\\ y(t) = 2 - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\,t. \end{cases}

Resposta

As retas que passam por (-1,2) e formam ângulo \pi/3 com \sqrt{3}\,x-3\,y+3=0 são:
(a) Cartesianas:
x = -1.
Paramétricas:
x(t) = -1,\quad y(t) = 2 + t.
(b) Cartesianas:
y - 2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1) \quad\bigl(\text{ou}\;\sqrt{3}\,x + 3\,y + \sqrt{3}-6=0\bigr).
Paramétricas:
x(t) = -1 + t,\quad y(t) = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}\,t.

Exercícios relacionados