Em cada um dos itens a seguir, determine as equações cartesianas e equações paramétricas para retas no plano satisfazendo as condições dadas.
que passa pelo ponto (1,1) e pelo ponto de interseção das retas y=x-1 e x-3 y=1.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por (1,1) e pelo ponto de interseção das retas \,y=x-1, e \,x-3y=1. Para isso, vamos (i) achar o ponto de interseção e (ii) montar a equação da reta que passa por dois pontos.

Passo 2

Para encontrar a interseção, substituímos y=x-1 em x-3y=1:
x - 3(x-1) = 1
x - 3x + 3 = 1
-2x = -2 \quad\Longrightarrow\quad x = 1,
e então
y = x - 1 = 1 - 1 = 0.
Logo, o ponto de interseção é (1,0).

Passo 3

Agora temos os dois pontos (1,1) e (1,0). Como as abscissas coincidem, a reta é vertical. Em geral, reta vertical tem equação x = \text{constante}. Aqui, a constante é 1.

Passo 4

A equação cartesiana da reta é
x = 1.

Passo 5

Uma forma de equações paramétricas é tomar t\in\mathbb{R} como parâmetro e escrever
x = 1,\quad y = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Equação cartesiana: x = 1.
Equações paramétricas: x = 1,\;y = t,\;t\in\mathbb{R}.

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