Em cada um dos itens a seguir, determine as equações cartesianas e equações paramétricas para retas no plano satisfazendo as condições dadas.
que passa pelo ponto de interseção das retas 2 x-y=1 e x=-1 e é perpendicular à reta x-y=1.

Passo 1

O enunciado pede a reta no plano que passa pelo ponto de interseção das retas 2x - y = 1 e x = -1, e que é perpendicular à reta x - y = 1. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar o ponto de interseção P entre 2x - y = 1 e x=-1.
  2. Determinar o coeficiente angular (ou vetor diretor) da reta perpendicular a x - y = 1.
  3. Escrever a equação cartesiana e depois as equações paramétricas da reta que passa por P com essa direção.

Passo 2

Encontrar o ponto de interseção P. Como x=-1, substituímos em 2x - y = 1:
2(-1) - y = 1
-2 - y = 1
-y = 3 \quad\Longrightarrow\quad y = -3.
Logo, P = (-1,-3).

Passo 3

Determinar a direção da reta perpendicular a x - y = 1. Reescrevendo essa reta em forma explícita:
x - y = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = x - 1,
vemos que o coeficiente angular é m=1. A reta perpendicular terá coeficiente angular
m' = -\frac{1}{m} = -1.
Um vetor diretor correspondente é \mathbf{v} = (1,\,-1).

Passo 4

Escrever a equação cartesiana da reta que passa por P(-1,-3) e tem coeficiente angular m'=-1. Na forma ponto-declive:
y - (-3) = -1\bigl(x - (-1)\bigr)
y + 3 = -1\,(x + 1)
y + 3 = -x - 1
x + y + 4 = 0.

Passo 5

Agora as equações paramétricas usando P e o vetor diretor \mathbf{v}=(1,-1). Seja t\in\mathbb{R}:
\begin{cases} x = -1 + t,\\\ y = -3 - t. \end{cases}

Resposta

Equação cartesiana:
x + y + 4 = 0
Equações paramétricas:
\begin{cases} x = -1 + t,\\\ y = -3 - t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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