Determine equações paramétricas para as retas cujas equações cartesianas são dadas.
y=2 x+3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar equações paramétricas da reta dada pela equação cartesiana
y = 2x + 3.
O conteúdo envolvido é representação paramétrica de reta no plano, que requer um ponto sobre a reta e um vetor diretor.

Passo 2

Para achar um ponto sobre a reta, basta atribuir um valor qualquer a x. Tomando x=0, obtemos
y = 2\cdot0 + 3 = 3.
Logo, um ponto na reta é P_0=(0,3).

Passo 3

O coeficiente angular da reta é m=2. Isso significa que, ao variar x de 1 unidade, y varia de 2 unidades. Um vetor diretor conveniente é
\mathbf{v} = (1,\,2).

Passo 4

A forma vetorial paramétrica da reta é
\mathbf{r}(t) = P_0 + t\,\mathbf{v} = (0,3) + t\,(1,2).
Separando em coordenadas, temos as equações paramétricas:
\begin{cases} x(t) = 0 + 1\cdot t = t,\\\ y(t) = 3 + 2\cdot t = 2t + 3, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\begin{cases} x = t,\\\ y = 2t + 3, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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