Determine equações paramétricas para as retas cujas equações cartesianas são dadas.
x-3 y=1

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva em forma paramétrica a reta do plano dada pela equação cartesiana
x - 3y = 1.
Aqui o conteúdo é Geometria Analítica: equações paramétricas de reta em \mathbb{R}^2. Para isso, vamos precisar de um ponto qualquer da reta e de um vetor diretor dela.

Passo 2

Para encontrar um ponto P_0 que satisfaça x - 3y = 1, basta dar um valor simples a uma das coordenadas. Por exemplo, se escolhermos y=0, então
x - 3\cdot 0 = 1
logo x=1. Assim um ponto da reta é
P_0 = (1,0).

Passo 3

O vetor normal à reta é (1,-3) pois aparece na forma 1\cdot x + (-3)\cdot y = 1. Um vetor diretor \mathbf{v} precisa satisfazer
(1,-3)\cdot v = 0.
Uma escolha fácil é \mathbf{v} = (3,1), já que
1\cdot 3 + (-3)\cdot 1 = 3 - 3 = 0.

Passo 4

Agora montamos as equações paramétricas usando o ponto P_0 e o vetor diretor \mathbf{v}. Chamando o parâmetro de t, temos
x = 1 + 3t,
y = 0 + 1\cdot t = t,
para todo t\in\mathbb{R}.

Resposta

\begin{cases} x(t) = 1 + 3t,\\\ y(t) = t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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