Em cada um dos itens a seguir, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
ux x x+2 ux x y y+uy y y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação em derivadas parciais
uxxx + 2,uxxyy + uyyy = 0
e pede para identificar a ordem da equação e dizer se ela é linear ou não linear. O conteúdo aqui é classificação de PDEs em relação à ordem (maior grau de derivada aparecendo) e à linearidade (se os termos aparecem apenas de forma linear).

Passo 2

Para achar a ordem da equação diferencial, buscamos o termo que envolva a maior quantidade de derivadas parciais combinadas. Temos:
,uxxx é de terceira ordem,
,uxxyy é de quarta ordem (duas derivadas em x e duas em y),
,uyyy é de terceira ordem.
Logo, o termo de maior ordem é uxxyy, que é de ordem 4. Portanto, a equação é de quarta ordem.

Passo 3

Para verificar a linearidade, observamos se a função u ou suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções (ou constantes) sem se multiplicarem entre si nem dependerem não linearmente de u. Aqui todos os termos são da forma constante vezes uma derivada de u, sem produtos entre derivadas nem funções não lineares de u. Assim, a equação é linear.

Resposta

Ordem: 4
Linearidade: linear

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