Beleza, vamos resolver essa integral de linha: , onde é a circunferência . Esse tipo de problema está dentro do estudo do Cálculo Vetorial, mais especificamente usando o Teorema de Green. Vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos ajuda a converter uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Basicamente, ele relaciona a circulação ao redor da fronteira com algo que acontece dentro da área. A fórmula do Teorema de Green é:
Passo 3
No nosso caso, identificamos e . Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região que corresponde à circunferência .
Passo 5
Para facilitar, é melhor usar coordenadas polares, já que a região é um círculo. Em coordenadas polares, temos:
Além disso, . Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral dupla. Primeiramente, integramos em relação a :