Calcule a integral ointC x^2 y d x-y^2 x d y onde C é a circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: ointC x^2 y , dx - y^2 x , dy, onde C é a circunferência x^2 + y^2 = 1. Esse tipo de problema está dentro do estudo do Cálculo Vetorial, mais especificamente usando o Teorema de Green. Vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos ajuda a converter uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Basicamente, ele relaciona a circulação ao redor da fronteira com algo que acontece dentro da área. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 3

No nosso caso, identificamos P = x^2 y e Q = -y^2 x. Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (-y^2 x)partial x = -y^2
partial Ppartial y = partial (x^2 y)partial y = x^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC x^2 y , dx - y^2 x , dy = integral duplaD ( -y^2 - x^2 ) dA = -integral duplaD (x^2 + y^2) dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região D que corresponde à circunferência x^2 + y^2 = 1.

Passo 5

Para facilitar, é melhor usar coordenadas polares, já que a região D é um círculo. Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, dA = r , dr , dtheta
Além disso, x^2 + y^2 = r^2. Então, a integral fica:
-integral duplaD r^2 cdot r , dr , dtheta = -integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral dupla. Primeiramente, integramos em relação a r:
integral0^1 r^3 , dr = r^44 |0^1 = 14
Em seguida, integramos em relação a theta:
- 14 integral0^2pi dtheta = - 14 cdot 2pi = -pi2

Resposta

A integral vale -dfracpi2.

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