Considere o problema de valor inicial e de contorno
& ut t=4 ux x & u(0, t)=0=u(2, t)=0 & u(x, 0)=0 & ut(x, 0)=1,0<x<2
a) Mostre que un(x, t)=sen n pi x2 sen(n pi t), n=1,2, ldots, é solução da EDP e satisfaz a todas as condições do problema com exceção da última.
b) Use un(x, t), n >= 1 para encontrar uma solução para o problema dado.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de onda
utt=4,uxx, 0<x<2,;t>0
com condições de contorno
u(0,t)=0,;u(2,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=0, ut(x,0)=1,
O método clássico é usar separação de variáveis e expandir a solução em série de modos próprios que satisfazem as condições de contorno.

Passo 2

Mostramos que
un(x,t)=sin!l(tfracnpi x2r),sin(npi t)
satisfaz a EDP e as três primeiras condições:
  1. Cálculo de utt e uxx:
utt=-,(npi)^2sin!l(tfracnpi x2r)sin(npi t), uxx=-l(tfracnpi2r)^2sin!l(tfracnpi x2r)sin(npi t)
Logo
4,uxx =-4l(tfracnpi2r)^2sin!l(tfracnpi x2r)sin(npi t) =-(npi)^2sin!l(tfracnpi x2r)sin(npi t) = utt
  1. Contornos:
un(0,t)=0, un(2,t)=sin(npi)sin(npi t)=0
  1. Deslocamento inicial:
un(x,0)=sin!l(tfracnpi x2r)sin(0)=0
Finalmente,
un,t(x,0)=npisin!l(tfracnpi x2r),
que em geral não é constante 1. Logo cada un falha só na condição ut(x,0)=1.

Passo 3

Por linearidade, buscamos
u(x,t)=sumn=1^inftyAn,sin!l(tfracnpi x2r)sin(npi t)
Isso garante PDE, contornos e u(x,0)=0. Falta ajustar An para
ut(x,0)=sumn=1^inftyAn,npisin!l(tfracnpi x2r)=1

Passo 4

Usamos ortogonalidade dos senos em [0,2]:
integral0^2sin!l(tfracnpi x2r)sin!l(tfracmpi x2r),dx =de<anm
Multiplicando a série por sin!l(tfracmpi x2r) e integrando de 0 a 2 dá
Am,mpi =integral0^21cdotsin!l(tfracmpi x2r),dx =l[-tfrac2mpicos!l(tfracmpi x2r)r]0^2 =tfrac2mpil(1-(-1)^mr)
Logo
Am=2(mpi)^2l(1-(-1)^mr) = dfrac4(mpi)^2,&m ímpar, 0,&m par í

Passo 5

Substituindo na série, a solução fica

Resposta

boxed u(x,t) =sumk=0^infty 4l((2k+1)pir)^2 sin!l(tfrac(2k+1)pi x2r) sinl((2k+1)pi tr)

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