Considere o problema de valor inicial e de contorno
a) Mostre que , é solução da EDP e satisfaz a todas as condições do problema com exceção da última.
b) Use para encontrar uma solução para o problema dado.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de onda
com condições de contorno
e condições iniciais
O método clássico é usar separação de variáveis e expandir a solução em série de modos próprios que satisfazem as condições de contorno.
Passo 2
Mostramos que
satisfaz a EDP e as três primeiras condições:
Cálculo de e :
Logo
Contornos:
Deslocamento inicial:
Finalmente,
que em geral não é constante . Logo cada falha só na condição .
Passo 3
Por linearidade, buscamos
Isso garante PDE, contornos e . Falta ajustar para
Passo 4
Usamos ortogonalidade dos senos em :
Multiplicando a série por e integrando de 0 a 2 dá