Considere uma barra de comprimento
com uma distribuição inicial de temperaturas dada por
, e com as extremidades térmicamente isoladas.
a) Determine a distribuição de temperaturas
da barra em um instante
qualquer.
b) Qual é a temperatura de equilíbrio da barra?
a) Determine a distribuição de temperaturas
b) Qual é a temperatura de equilíbrio da barra?
Passo 1
O problema é resolver a equação do calor unidimensional em
com extremidades isoladas (condições de Neumann) e condição inicial
Assumimos difusividade térmica unitaria, ou seja
A solução geral se obtém por separação de variáveis usando os autofunções
.
Passo 2
A expansão de Fourier em cossenos é
onde
Vamos calcular primeiro
:
logo
Passo 3
Agora o coeficiente
. Usando produto-soma em
com
,
,
e integrando de a
, encontra-se que
e integrando de
(este resultado sai da simplificação
).
Passo 4
Substituindo em série só com os modos pares
, obtemos
Como
e
, fica
Passo 5
A temperatura de equilíbrio é o termo constante da série, isto é
independente de
.
Resposta
a)
b)