Considere uma barra de comprimento ell com uma distribuição inicial de temperaturas dada por f(x)=-cos (pi(2 x+ell)2 ell), 0 <= x <= ell, e com as extremidades térmicamente isoladas.
a) Determine a distribuição de temperaturas u(x, t) da barra em um instante t>0 qualquer.
b) Qual é a temperatura de equilíbrio da barra?

Passo 1

O problema é resolver a equação do calor unidimensional em 0<= x<= ell com extremidades isoladas (condições de Neumann) e condição inicial
u(x,0)=f(x)=-cos!l(pi(2x+ell)2ellr)
Assumimos difusividade térmica unitaria, ou seja
ut = uxx, ux(0,t)=ux(ell,t)=0
A solução geral se obtém por separação de variáveis usando os autofunções cos(npi x/ell).

Passo 2

A expansão de Fourier em cossenos é
u(x,t)=a02+sumn=1^infty ancosl(npi xellr)exp!l(-kappa,(npi/ell)^2,tr),
onde
a0=2ellintegral0^ell f(x),dx, an=2ellintegral0^ell f(x)cosl(npi xellr),dx
Vamos calcular primeiro a0:
integral0^ell f(x),dx =-integral0^ell cos!l(pi(2x+ell)2ellr),dx =-ellpiintegralpi/2^3pi/2costheta,dtheta =2ellpi,
logo
a0=2ellcdot2ellpi=4pi

Passo 3

Agora o coeficiente an. Usando produto-soma em
cos(A)cos(B) com
A=pi(2x+ell)2ell, B=npi xell,
e integrando de 0 a ell, encontra-se que
an=0se (n) é ímpar, éí
a2m =2pil[12m+1-12m-1r] =-4pi(4m^2-1), m=1,2,dots
(este resultado sai da simplificação
tfrac12m+1-tfrac12m-1=-tfrac24m^2-1).

Passo 4

Substituindo em série só com os modos pares n=2m, obtemos
u(x,t) =a02 +summ=1^infty a2mcos!l(2mpi xellr) exp!l(-kappa,(2mpi)^2ell^2tr)
Como a0/2=2/pi e a2m=-4/[pi(4m^2-1)], fica
boxed u(x,t) =2pi -4pi summ=1^infty cos!l(tfrac2mpi xellr)4m^2-1 , exp!l(-kappa,tfrac4m^2pi^2ell^2,tr)

Passo 5

A temperatura de equilíbrio é o termo constante da série, isto é
limttoinftyu(x,t)=a02=2pi,
independente de x.

Resposta

a) u(x,t) =2pi -4pi summ=1^infty cos!l(tfrac2mpi xellr)4m^2-1 exp!l(-kappa,4m^2pi^2ell^2,tr)
b) Trm eq=tfrac2pi

Exercícios relacionados