Em cada um dos itens a seguir, determine um sistema linear correspondente à matriz ampliada e resolva-o.
(cccc1 & 1 & 1 & 31 2 & -1 & 1 & 16 3 & 1 & -2 & 6)

Passo 1

O enunciado fornece a matriz ampliada
1 & 1 & 1 & 31 2 & -1 & 1 & 16 3 & 1 & -2 & 6
que corresponde a um sistema linear em três variáveis. O conteúdo é resolução de sistemas por eliminação de Gauss. Vamos primeiro traduzir a matriz no sistema de equações e depois aplicar operações elementares para encontrar (x,y,z).

Passo 2

A matriz ampliada representa o sistema
x + y + z = 31, 2x - y + z = 16, 3x + y - 2z = 6

Passo 3

Começamos eliminando x nas equações 2 e 3 usando a primeira equação. Fazendo
linha2 linha2 - 2cdotlinha1, linha3 linha3 - 3cdotlinha1,
obtemos a matriz
1 & 1 & 1 & 31 0 & -3 & -1 & -46 0 & -2 & -5 & -87

Passo 4

Agora eliminamos y da terceira linha. Para manter inteiros, fazemos
3cdot(linha3);-;2cdot(linha2) ;longrightarrow; nova linha3,
resultando em
1 & 1 & 1 & 31 0 & -3 & -1 & -46 0 & 0 & -13 & -169
Da terceira linha vem
-13z = -169 longrightarrow z = 13

Passo 5

Substituindo z=13 na segunda linha -3y - z = -46, temos
-3y - 13 = -46 longrightarrow -3y = -33 longrightarrow y = 11

Passo 6

Por fim, substituímos y=11 e z=13 na primeira equação x + y + z = 31:
x + 11 + 13 = 31 longrightarrow x + 24 = 31 longrightarrow x = 7

Resposta

(x,y,z) = (7,,11,,13).

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