Julgue os itens a seguir em certo ou errado. Para os itens certos, demonstre o fato; para os itens errados, dê um contra-exemplo.
()(A-B)^2=(B-A)^2, forall A, B in Mn(R).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale a igualdade
(A - B)^2 = (B - A)^2
para quaisquer matrizes A,BinMn(R). O conteúdo é álgebra de matrizes, usando distributividade e comutatividade da soma.

Passo 2

Expandimos o lado esquerdo usando (X-Y)^2=(X-Y)(X-Y) e distributividade:
(A - B)^2 = (A - B)(A - B) = A^2 - AB - BA + B^2

Passo 3

De modo semelhante, expandimos o lado direito:
(B - A)^2 = (B - A)(B - A) = B^2 - BA - AB + A^2

Passo 4

Observamos que em Mn(R) a soma é comutativa, então
A^2 - AB - BA + B^2 = A^2 + B^2 - AB - BA = B^2 + A^2 - BA - AB = B^2 - BA - AB + A^2
Portanto as duas expressões são idênticas.

Resposta

O item é certo.

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