Julgue os itens a seguir em certo ou errado. Para os itens certos, demonstre o fato; para os itens errados, dê um contra-exemplo.
()(A B)^2=A^2 B^2, forall A, B in Mn(R).

Passo 1

O enunciado nos pede para julgar se a igualdade
(AB)^2 = A^2B^2
vale para quaisquer A,Bin Mn(R). O conteúdo envolve produto de matrizes e potência de matrizes, lembrando que em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa. Para decidir, precisamos verificar se sempre vale
ABAB ;=; AABB,
ou seja, se basta multiplicar “ao quadrado” separadamente.

Passo 2

Como em geral ABneq BA, não se tem ABAB = AABB. Vamos dar um contra-exemplo em M2(R). Seja
A = 0 & 1[6pt]0 & 0, B = 0 & 0[6pt]1 & 0
Então
AB = 0 & 10 & 0 0 & 01 & 0 = 1 & 00 & 0,
portanto
(AB)^2 = 1 & 00 & 0^2 = 1 & 00 & 0
Por outro lado,
A^2 = 0 & 10 & 0^2 = 0 & 00 & 0, B^2 = 0 & 01 & 0^2 = 0 & 00 & 0,
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A^2B^2 = 0 & 00 & 0
Como
(AB)^2 = 1 & 00 & 0 neq 0 & 00 & 0 = A^2B^2,
a igualdade falha nesse exemplo.]

Resposta

Errado.

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