Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
, com
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com a condição adicional
e a condição inicial
.\n
Pergunta: determinar a solução que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Pergunta: determinar a solução
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação diferencial relaciona a derivada de
com e . - A condição inicial é
. - Há a restrição
, que vai indicar o sinal da solução final.
Passo 2
Escolha do método e por que: a equação está numa forma que permite separar as variáveis
e
— isto é, podemos escrever um lado só em
e o outro só em
. Esse método (separação de variáveis) é o mais direto e elementar para ODEs do tipo onde
é produto de uma função de
por uma função de
. Vou usar separação de variáveis porque é simples, rápido e adequado aqui.
Passo 3
Reescrever a equação para separar variáveis. Partimos de
Trate
como razão e multiplique ambos os lados por
e por
(isso é uma manipulação algébrica válida desde que trabalhemos em intervalos onde
não seja zero; aqui a condição inicial garante
, então começamos numa região com
):
Agora o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
: missão separação cumprida.
Passo 4
Integre ambos os lados. Explico: integrar
significa encontrar uma função cuja derivada em relação a
seja
; a primitiva é
. Similarmente,
tem primitiva
. Então
dá
onde
é constante de integração (um número real que ajustamos com a condição inicial). Aqui explicito o que significa cada símbolo:
e
são as variáveis, a integração antideriva foi feita em relação às respectivas variáveis, e
representa qualquer constante porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 5
Simplificar a expressão encontrada. Multiplicando tudo por
para ficar mais limpinho:
onde eu chamei
(é apenas outra constante real). Podemos escrever
Isto já dá uma boa interpretação geométrica: as soluções são curvas de nível do tipo círculo
.
Passo 6
Determinar a constante com a condição inicial. Usamos
. Substituindo
e
em
:
Portanto a relação para a solução é
ou equivalentemente
Passo 7
Escolher o sinal de
usando a condição
. Da relação
segue
Como o enunciado impõe
e a condição inicial
, devemos tomar o sinal positivo:
Passo 8
Determinar o domínio (onde a solução é válida como função real e onde a ODE está definida). Para
ser real precisamos de
, isto é
. Contudo, a própria equação diferencial original contém divisão por
— então a fórmula da ODE
deixa de fazer sentido quando
. Em
temos
, logo nos pontos extremos a ODE não está bem definida (a derivada explodia como
). Por isso, o intervalo máximo onde a solução é uma solução clássica da ODE contendo
é o intervalo aberto
. No entanto, a função
faz sentido (como função contínua) em
; ainda assim, como solução da ODE com derivada dada por
a validade clássica é para
.
Passo 9
Verificação rápida (útil para prova): derive a solução encontrada para checar que satisfaz a ODE. Seja
. Então, usando regra da cadeia,
que é exatamente a equação dada. Também
. Portanto a solução está correta.