Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
\frac{d y}{d x}=-\frac{x}{y}, com y \geq 0 e y(0)=4.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},
com a condição adicional y\ge 0 e a condição inicial y(0)=4.\n
Pergunta: determinar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação diferencial relaciona a derivada de y com x e y.
  • A condição inicial é y(0)=4.
  • Há a restrição y\ge 0, que vai indicar o sinal da solução final.

Passo 2

Escolha do método e por que: a equação está numa forma que permite separar as variáveis x e y — isto é, podemos escrever um lado só em y e o outro só em x. Esse método (separação de variáveis) é o mais direto e elementar para ODEs do tipo onde \frac{dy}{dx} é produto de uma função de x por uma função de y. Vou usar separação de variáveis porque é simples, rápido e adequado aqui.

Passo 3

Reescrever a equação para separar variáveis. Partimos de
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
Trate \frac{dy}{dx} como razão e multiplique ambos os lados por dx e por y (isso é uma manipulação algébrica válida desde que trabalhemos em intervalos onde y não seja zero; aqui a condição inicial garante y(0)=4, então começamos numa região com y\neq 0):
y\,dy = -x\,dx.
Agora o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x: missão separação cumprida.

Passo 4

Integre ambos os lados. Explico: integrar \int y\,dy significa encontrar uma função cuja derivada em relação a y seja y; a primitiva é \tfrac{1}{2}y^2. Similarmente, \int -x\,dx tem primitiva -\tfrac{1}{2}x^2. Então
\int y\,dy = \int -x\,dx
\frac{1}{2}y^2 = -\frac{1}{2}x^2 + C,
onde C é constante de integração (um número real que ajustamos com a condição inicial). Aqui explicito o que significa cada símbolo: y e x são as variáveis, a integração antideriva foi feita em relação às respectivas variáveis, e C representa qualquer constante porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Simplificar a expressão encontrada. Multiplicando tudo por 2 para ficar mais limpinho:
y^2 = -x^2 + C_1,
onde eu chamei C_1=2C (é apenas outra constante real). Podemos escrever
y^2 + x^2 = C_1.
Isto já dá uma boa interpretação geométrica: as soluções são curvas de nível do tipo círculo x^2+y^2=\text{constante}.

Passo 6

Determinar a constante com a condição inicial. Usamos y(0)=4. Substituindo x=0 e y=4 em y^2 + x^2 = C_1:
4^2 + 0^2 = C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 16.
Portanto a relação para a solução é
y^2 + x^2 = 16,
ou equivalentemente
y^2 = 16 - x^2.

Passo 7

Escolher o sinal de y usando a condição y\ge 0. Da relação y^2 = 16 - x^2 segue
y(x) = \pm\sqrt{16 - x^2}.
Como o enunciado impõe y\ge 0 e a condição inicial y(0)=4>0, devemos tomar o sinal positivo:
y(x) = \sqrt{16 - x^2}.

Passo 8

Determinar o domínio (onde a solução é válida como função real e onde a ODE está definida). Para \sqrt{16 - x^2} ser real precisamos de 16 - x^2 \ge 0, isto é |x|\le 4. Contudo, a própria equação diferencial original contém divisão por y — então a fórmula da ODE \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} deixa de fazer sentido quando y=0. Em x=\pm 4 temos y=0, logo nos pontos extremos a ODE não está bem definida (a derivada explodia como -x/0). Por isso, o intervalo máximo onde a solução é uma solução clássica da ODE contendo x=0 é o intervalo aberto (-4,4). No entanto, a função \sqrt{16-x^2} faz sentido (como função contínua) em [-4,4]; ainda assim, como solução da ODE com derivada dada por -x/y a validade clássica é para -4<x<4.

Passo 9

Verificação rápida (útil para prova): derive a solução encontrada para checar que satisfaz a ODE. Seja y(x)=\sqrt{16-x^2}. Então, usando regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{16-x^2}}\cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{16-x^2}} = -\frac{x}{y},
que é exatamente a equação dada. Também y(0)=\sqrt{16}=4. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=\sqrt{16-x^2}, para -4<x<4 (com extensão contínua até |x|=4 se quisermos a função em [-4,4]).

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