Uma população, que conta atualmente com 5000 espécimes, está decaindo exponencialmente. Sabe-se que, decorridos 8 anos, a população cai para 1840 espécimes.
Obtenha a equação da curva dessa população.

Passo 1

O enunciado pede que a gente obtenha a equação da curva que descreve a população em função do tempo. As informações dadas são:
  • A população atual é de 5000 espécimes (vamos tomar esse instante como t=0).
  • Decorridos 8 anos, a população é 1840 espécimes.
    Portanto os dados essenciais são P(0)=5000 e P(8)=1840. A incógnita é a função P(t) que dá a população em função do tempo t (em anos).

Passo 2

Modelo geral usado para crescimento/decrescimento exponencial: explicando com calma.
  • Em muitos problemas de populações que mudam proporcionalmente ao seu tamanho, usamos o modelo
P(t)=P_0 e^{kt},
onde:
  • P(t) é a população no tempo t (espécimes),
  • P_0 é a população inicial (população em t=0),
  • k é a constante de crescimento ( k>0) ou decaimento ( k<0),
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).
  • Esse modelo vem da ideia de que a taxa de variação instantânea da população é proporcional à própria população: \dfrac{dP}{dt}=kP. A solução dessa equação diferencial é exatamente P_0 e^{kt}. Não se assusta com isso — na prova você pode apenas usar o modelo pronto.

Passo 3

Usando o dado inicial:
  • Como assumimos que o instante atual é t=0, temos P(0)=P_0.
  • Pelo enunciado P(0)=5000. Logo P_0=5000 e o modelo fica
P(t)=5000\,e^{kt}.

Passo 4

Usando o dado aos 8 anos para encontrar k:
  • Substituímos t=8 e P(8)=1840 na equação:
1840 = 5000\,e^{8k}.
  • Isolamos a exponencial dividindo por 5000:
e^{8k}=\frac{1840}{5000}.
  • Simplificando a fração:
\frac{1840}{5000}=\frac{184}{500}=\frac{92}{250}=\frac{46}{125}=0,368.
Então
e^{8k}=0,368.

Passo 5

Resolver para k usando logaritmo natural:
  • Tomamos \ln em ambos os lados (sabe-se que \ln(e^{x})=x):
8k=\ln(0,368).
  • Portanto
k=\frac{1}{8}\ln(0,368).
  • Observação didática: como 0,368<1, \ln(0,368)<0, logo k<0 (decrescimento), como fazia sentido pelo enunciado.

Passo 6

Calcular aproximação numérica de k:
  • Podemos calcular \ln(0,368). Sabendo que e^{-1}\approx0,367879, vemos que \ln(0,368) é muito próximo de -1. Uma conta mais precisa dá
\ln(0,368)\approx -0,999673.
  • Dividindo por 8:
k\approx -0,124959.
  • Interpretando: a constante k tem unidade “por ano” e vale aproximadamente -0,124959 ano ^{-1}.

Passo 7

Escrever a equação final da curva:
  • Substituindo k na fórmula P(t)=5000e^{kt} obtemos a equação exata e a aproximação numérica.
  • Alternativas equivalentes úteis para a prova:
    • Forma com e e k exato:
    P(t)=5000\,\exp\!\left(\frac{\ln\!\left(\tfrac{46}{125}\right)}{8}\,t\right).
    • Forma com valor numérico aproximado de k:
    P(t)\approx 5000\,e^{-0,124959\,t}.
    • Ou, como potência com base anual (fator de sobrevivência anual a=e^{k}\approx0,8826):
    P(t)\approx 5000\,(0,8826)^{t}.
  • Essas três expressões são equivalentes; use a que preferir na prova (a primeira é exata, as outras são aproximadas e convenientes para cálculos numéricos).

Resposta

P(t)=5000\,\exp\!\left(\frac{\ln\!\left(\tfrac{46}{125}\right)}{8}\,t\right)
P(t)\approx 5000\,e^{-0,124959\,t}\\ (\text{população em função do tempo, }t\text{ em anos})çãçã

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