Uma população, que conta atualmente com 5000 espécimes, está decaindo exponencialmente. Sabe-se que, decorridos 8 anos, a população cai para 1840 espécimes.
Obtenha a equação da curva dessa população.
Obtenha a equação da curva dessa população.
Passo 1
O enunciado pede que a gente obtenha a equação da curva que descreve a população em função do tempo. As informações dadas são:
- A população atual é de
espécimes (vamos tomar esse instante como ). - Decorridos
anos, a população é espécimes.
Portanto os dados essenciais sãoe . A incógnita é a função que dá a população em função do tempo (em anos).
Passo 2
Modelo geral usado para crescimento/decrescimento exponencial: explicando com calma.
- Em muitos problemas de populações que mudam proporcionalmente ao seu tamanho, usamos o modelo
onde:
-
é a população no tempo (espécimes), -
é a população inicial (população em ), -
é a constante de crescimento ( ) ou decaimento ( ), -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). - Esse modelo vem da ideia de que a taxa de variação instantânea da população é proporcional à própria população:
. A solução dessa equação diferencial é exatamente . Não se assusta com isso — na prova você pode apenas usar o modelo pronto.
Passo 3
Usando o dado inicial:
- Como assumimos que o instante atual é
, temos . - Pelo enunciado
. Logo e o modelo fica
Passo 4
Usando o dado aos
anos para encontrar
:
- Substituímos
e na equação:
- Isolamos a exponencial dividindo por
:
- Simplificando a fração:
Então
Passo 5
Resolver para
usando logaritmo natural:
- Tomamos
em ambos os lados (sabe-se que ):
- Portanto
- Observação didática: como
, , logo (decrescimento), como fazia sentido pelo enunciado.
Passo 6
Calcular aproximação numérica de
:
- Podemos calcular
. Sabendo que , vemos que é muito próximo de . Uma conta mais precisa dá
- Dividindo por
:
- Interpretando: a constante
tem unidade “por ano” e vale aproximadamente ano .
Passo 7
Escrever a equação final da curva:
- Substituindo
na fórmula obtemos a equação exata e a aproximação numérica. - Alternativas equivalentes úteis para a prova:
- Forma com
e exato:
- Forma com valor numérico aproximado de
:
- Ou, como potência com base anual (fator de sobrevivência anual
):
- Forma com
- Essas três expressões são equivalentes; use a que preferir na prova (a primeira é exata, as outras são aproximadas e convenientes para cálculos numéricos).