Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
y^{\prime}=y^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
y' = y^{2/3},
e pede que determinemos as soluções y(x). Vou então encontrar (i) as soluções não nulas obtidas por integração, (ii) as soluções constantes/eventuais especiais, e (iii) comentar o comportamento em problemas de valor inicial (unicidade/existência). Estas são as informações que temos e o que devemos entregar.

Passo 2

Vamos resolver a equação quando y(x)\neq 0 numa vizinhança: aí a separação de variáveis é natural. Escrevemos
\frac{dy}{dx}=y^{2/3}\quad\Longrightarrow\quad y^{-2/3}\,dy = dx.
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int y^{-2/3}\,dy = \int dx.

Passo 3

Calcule as integrais. Para a integral à esquerda, note que \int y^{-2/3}\,dy = \dfrac{y^{1/3}}{1/3} = 3\,y^{1/3}. Assim:
3\,y^{1/3} = x + C,
onde C é constante de integração. Isolando y,
y^{1/3} = \frac{x + C}{3}\quad\Longrightarrow\quad y = \left(\frac{x + C}{3}\right)^{3}.
Essa expressão define a família de soluções obtidas por separação, válida em intervalos onde y não muda sinal e é não nula (a fórmula continua válida por continuidade quando o lado cúbico incide em zero).

Passo 4

Verificação rápida: derivando y=(\tfrac{x+C}{3})^{3} obtemos
y' = 3\left(\frac{x+C}{3}\right)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x+C}{3}\right)=\left(\frac{x+C}{3}\right)^{2}=\bigl(y^{1/3}\bigr)^{2}=y^{2/3},
confirmando que a fórmula realmente satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Existe também a solução constante y\equiv 0. Verifique:
\text{se } y(x)\equiv 0,\\ \text{então } y'(x)=0 \text{ e } y^{2/3}=0,ã
logo a igualdade é satisfeita. Note que na separação inicial usamos y^{-2/3}, que não é definido em y=0; por isso a solução zero precisa ser considerada separadamente.

Passo 6

Sobre problemas de valor inicial e unicidade: se for dado y(x_0)=y_0\) com \(y_0\neq 0\), a solução única que passa por esse ponto é obtida escolhendo a constante \(C\) tal que \(3y_0^{1/3}=x_0+C\). Ou seja, \[C = 3y_0^{1/3}-x_0,
e a solução é
y(x)=\left(y_0^{1/3}+\frac{x-x_0}{3}\right)^{3}.
Se y_0=0 (condição inicial no ponto y=0), a unicidade falha: além da solução y\equiv 0, existem soluções que permanecem zero até um certo ponto a e depois seguem a curva não nula. Um exemplo típico é, para qualquer a\in\mathbb{R},
y(x)=\begin{cases} 0, & x\le a,\\[4pt] \left(\dfrac{x-a}{3}\right)^{3}, & x\ge a. \end{cases}
Essa função é contínua e possui derivada contínua; em x=a\] tem \(y(a)=0 e y'(a^-)=0=y'(a^+), portanto satisfaz a equação e mostra a não unicidade quando a condição inicial é y(x_0)=0.]

Passo 7

Comentário intuitivo sobre unicidade: a função do lado direito f(y)=y^{2/3} é contínua, então soluções existem; porém f não é Lipschitz (nem C^1) em y=0 porque f'(y)=(2/3)y^{-1/3} explode ao aproximar 0. Essa falta de regularidade é a razão técnica pela qual há muitas soluções passando por um ponto com y=0.

Resposta

[y(x)\equiv 0)
y(x)=\left(\dfrac{x+C}{3}\right)^{3}, para constante C\in\mathbb{R}
Família de soluções com “atraso” (não-únicas passando por y=0):
y(x)=\begin{cases} 0, & x\le a,\\[4pt] \left(\dfrac{x-a}{3}\right)^{3}, & x\ge a, \end{cases}\quad a\in\mathbb{R}
Solução do problema de valor inicial (y(x_0)=y_0]:
\text{se } y_0\neq 0:\quad y(x)=\left(y_0^{1/3}+\dfrac{x-x_0}{3}\right)^{3}.
\text{se } y_0=0:\\ \text{há infinitas soluções, por exemplo }y\equiv 0\text{ e as soluções com parâmetro }a\text{ acima.}áçõçõâ]

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