Resolva as equações diferenciais homogêneas: \frac{d y}{d x}=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{2 x y}
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}
e pede que seja encontrada a solução geral y(x). As informações relevantes são:
A incógnita é y em função de x.
A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com uma expressão que envolve apenas x e y.
Deve-se obter a família de soluções com constante de integração arbitrária.
Passo 2
Observação sobre método (explicação didática): quando a razão do lado direito pode ser escrita apenas em termos de \dfrac{y}{x}, a equação é do tipo homogêneo e é conveniente fazer a substituição
v=\frac{y}{x}.
Essa substituição transforma uma equação em y(x) numa equação em v(x) geralmente separável. Agora explico passo a passo como aplicá-la.
Primeiro escrevo y em termos de v:
y = v x.
Derivando em relação a x (regra do produto), obtemos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Agora vamos substituir \dfrac{dy}{dx} e y na equação original.
Passo 3
Substituindo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} em
\frac{dy}{dx}=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy},
temos
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{3(vx)^{2}-x^{2}}{2x(vx)}.