Resolva as equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=\frac{3 y^{2}-x^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy}
e pede que seja encontrada a solução geral y(x). As informações relevantes são:
  • A incógnita é y em função de x.
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com uma expressão que envolve apenas x e y.
  • Deve-se obter a família de soluções com constante de integração arbitrária.

Passo 2

Observação sobre método (explicação didática): quando a razão do lado direito pode ser escrita apenas em termos de \dfrac{y}{x}, a equação é do tipo homogêneo e é conveniente fazer a substituição
v=\frac{y}{x}.
Essa substituição transforma uma equação em y(x) numa equação em v(x) geralmente separável. Agora explico passo a passo como aplicá-la.
Primeiro escrevo y em termos de v:
y = v x.
Derivando em relação a x (regra do produto), obtemos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Agora vamos substituir \dfrac{dy}{dx} e y na equação original.

Passo 3

Substituindo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} em
\frac{dy}{dx}=\frac{3y^{2}-x^{2}}{2xy},
temos
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{3(vx)^{2}-x^{2}}{2x(vx)}.
Simplifico o lado direito passo a passo:
\frac{3(vx)^{2}-x^{2}}{2x(vx)}=\frac{3v^{2}x^{2}-x^{2}}{2v x^{2}}=\frac{3v^{2}-1}{2v}.
Logo a equação fica
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{3v^{2}-1}{2v}.
Isolando x\frac{dv}{dx},
x\frac{dv}{dx}=\frac{3v^{2}-1}{2v}-v.
Coloco em um único quociente:
\frac{3v^{2}-1}{2v}-v=\frac{3v^{2}-1-2v^{2}}{2v}=\frac{v^{2}-1}{2v}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}-1}{2v}.

Passo 4

Transformo em equação separável reunindo termos em v de um lado e x do outro:
\frac{2v}{v^{2}-1}\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integro os dois lados. Para o lado esquerdo uso a substituição u=v^{2}-1, com du=2v\,dv, então
\int \frac{2v}{v^{2}-1}\,dv=\int \frac{du}{u}=\ln\big|u\big|+\!C_{1}=\ln\big|v^{2}-1\big|+\!C_{1}.
O lado direito integra-se facilmente:
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C_{2}.
Igualando e juntando constantes ( C=C_{2}-C_{1}) obtemos
\ln\big|v^{2}-1\big|=\ln|x|+C.
Exponenciando,
\big|v^{2}-1\big|=K|x|,
onde K=e^{C} é uma constante positiva. Absorvendo sinal em uma constante arbitrária C' (que pode ser qualquer real), podemos escrever
v^{2}-1=C'x.

Passo 5

Volto à variável original usando v=\dfrac{y}{x}:
\left(\frac{y}{x}\right)^{2}-1=C'x.
Multiplicando por x^{2},
y^{2}-x^{2}=C' x^{3}.
É comum reescrever a constante como C, ficando a forma implícita da solução geral
y^{2}=x^{2}+C x^{3}.
Opcionalmente, em forma explícita para y,
y=\pm x\sqrt{\,1+Cx\,},
sendo C constante arbitrária real. Note que a solução com C=0 y=\pm x.

Passo 6

Verificação rápida das soluções lineares: para y=x (caso C=0 e sinal +) tem-se \dfrac{dy}{dx}=1 e o lado direito da equação original é
\frac{3x^{2}-x^{2}}{2x\cdot x}=\frac{2x^{2}}{2x^{2}}=1,
logo coincide. Para y=-x a verificação é análoga e também confere. Assim as retas y=\pm x estão incluídas como casos C=0.

Resposta

y^{2}=x^{2}+C x^{3}
(ou, equivalentemente, y=\pm x\sqrt{\,1+Cx\,}, com C constante real)

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