Resolva as equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}
e pede para encontrar a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve razões com x e y no denominador, logo é preciso ter x\neq 0 e y\neq 0 nos trechos onde se manipula divisão por x ou y.
  • Queremos a solução geral, isto é, uma família de curvas que contém uma constante arbitrária.

Passo 2

Observação prática para resolver: a razão no lado direito pode ser reescrita como função do quociente \dfrac{y}{x}. Vou mostrar isso dividindo numerador e denominador por x^{2}.
\frac{x^{2}-3y^{2}}{2xy}=\frac{1-3\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}{2\left(\dfrac{y}{x}\right)}
Por isso faz sentido fazer a substituição
v=\frac{y}{x}.
Explicando a substituição passo a passo: se y=vx então \,y é escrita em função de x e de uma nova função v(x). Preciso também da derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de v e \dfrac{dv}{dx}. Usando a regra do produto:
y=vx\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.

Passo 3

Substituo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} na equação original. O lado direito em termos de v já é
\frac{1-3v^{2}}{2v}.
Logo a equação fica
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1-3v^{2}}{2v}.
Agora passo os termos para isolar \dfrac{dv}{dx}. Subtraio v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1-3v^{2}}{2v}-v.
Faço a subtração do lado direito colocando sobre denominador comum 2v:
\frac{1-3v^{2}}{2v}-v=\frac{1-3v^{2}-2v^{2}}{2v}=\frac{1-5v^{2}}{2v}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{1-5v^{2}}{2v}.

Passo 4

Agora separo as variáveis v e x para integrar. Reescrevo a equação isolando \dfrac{dv}{dx}:
\frac{dv}{dx}=\frac{1-5v^{2}}{2v\,x}.
Multiplico em cruz para obter uma forma separável:
\frac{2v}{1-5v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}.
Explicando a ideia: a integração fica simples porque o lado esquerdo depende só de v e o lado direito só de x. Vamos integrar ambos os lados.

Passo 5

Calculo a integral do lado esquerdo. Faço a substituição auxiliar para integrar com clareza: seja u=1-5v^{2}. Então du=-10v\,dv e v\,dv=-\dfrac{du}{10}.
Assim
\int \frac{2v}{1-5v^{2}}\,dv =2\int \frac{v\,dv}{u} =2\int \frac{-du}{10\,u} =-\frac{1}{5}\int \frac{du}{u} =-\frac{1}{5}\ln\bigl|u\bigr|+C_{1}.
Voltando a v temos
\int \frac{2v}{1-5v^{2}}\,dv=-\frac{1}{5}\ln\bigl|1-5v^{2}\bigr|+C_{1}.
A integral do lado direito é padrão:
\int \frac{dx}{x}=\ln\bigl|x\bigr|+C_{2}.
Igualando as duas integrais (absorvendo constantes em uma só constante C):
-\frac{1}{5}\ln\bigl|1-5v^{2}\bigr|=\ln\bigl|x\bigr|+C.

Passo 6

Multiplico ambos os lados por -5 para simplificar o logaritmo:
\ln\bigl|1-5v^{2}\bigr|=-5\ln\bigl|x\bigr|+C',
onde C'=-5C é outra constante arbitrária.
Aplicando exponenciação para eliminar o logaritmo obtemos
\bigl|1-5v^{2}\bigr|=K\,\bigl|x\bigr|^{-5},
onde K=e^{C'}>0. Para permitir constantes de sinal arbitrário podemos escrever de forma mais simples com uma constante real arbitrária C
1-5v^{2}=C x^{-5}.

Passo 7

Volto à variável original y lembrando que v=\dfrac{y}{x}. Substituo:
1-5\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=C x^{-5}.
Multiplico ambos os lados por x^{5} para eliminar frações:
x^{5}-5x^{3}y^{2}=C.
Esta é a forma implícita da solução geral. Pode-se também escrever fatorando x^{3}
x^{3}\bigl(x^{2}-5y^{2}\bigr)=C.
Notação e observações finais: C é constante arbitrária real. O caso C=0 dá as soluções particulares em linha reta y=\pm\dfrac{x}{\sqrt{5}} que aparecem naturalmente da fórmula.

Resposta

x^{5}-5x^{3}y^{2}=C,
onde C é constante arbitrária.

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