Resolva as equações diferenciais homogêneas: \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}
e pede para encontrar a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação envolve razões com x e y no denominador, logo é preciso ter x\neq 0 e y\neq 0 nos trechos onde se manipula divisão por x ou y.
Queremos a solução geral, isto é, uma família de curvas que contém uma constante arbitrária.
Passo 2
Observação prática para resolver: a razão no lado direito pode ser reescrita como função do quociente \dfrac{y}{x}. Vou mostrar isso dividindo numerador e denominador por x^{2}.
Explicando a substituição passo a passo: se y=vx então \,y é escrita em função de x e de uma nova função v(x). Preciso também da derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de v e \dfrac{dv}{dx}. Usando a regra do produto:
Agora separo as variáveis v e x para integrar. Reescrevo a equação isolando \dfrac{dv}{dx}:
\frac{dv}{dx}=\frac{1-5v^{2}}{2v\,x}.
Multiplico em cruz para obter uma forma separável:
\frac{2v}{1-5v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}.
Explicando a ideia: a integração fica simples porque o lado esquerdo depende só de v e o lado direito só de x. Vamos integrar ambos os lados.
Passo 5
Calculo a integral do lado esquerdo. Faço a substituição auxiliar para integrar com clareza: seja u=1-5v^{2}. Então du=-10v\,dv e v\,dv=-\dfrac{du}{10}.
Multiplico ambos os lados por -5 para simplificar o logaritmo:
\ln\bigl|1-5v^{2}\bigr|=-5\ln\bigl|x\bigr|+C',
onde C'=-5C é outra constante arbitrária.
Aplicando exponenciação para eliminar o logaritmo obtemos
\bigl|1-5v^{2}\bigr|=K\,\bigl|x\bigr|^{-5},
onde K=e^{C'}>0. Para permitir constantes de sinal arbitrário podemos escrever de forma mais simples com uma constante real arbitrária C
1-5v^{2}=C x^{-5}.
Passo 7
Volto à variável original y lembrando que v=\dfrac{y}{x}. Substituo:
1-5\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=C x^{-5}.
Multiplico ambos os lados por x^{5} para eliminar frações:
x^{5}-5x^{3}y^{2}=C.
Esta é a forma implícita da solução geral. Pode-se também escrever fatorando x^{3}
x^{3}\bigl(x^{2}-5y^{2}\bigr)=C.
Notação e observações finais: C é constante arbitrária real. O caso C=0 dá as soluções particulares em linha reta y=\pm\dfrac{x}{\sqrt{5}} que aparecem naturalmente da fórmula.