Para cada um dos itens a seguir, determine a solução geral da equação diferencial:
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e condições iniciais
,
.
Conteúdo: equações lineares homogêneas e não homogêneas de 2º ordem e método dos coeficientes indeterminados.
Conteúdo: equações lineares homogêneas e não homogêneas de 2º ordem e método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Começamos pela solução da equação homogênea associada
A equação característica é
, com raízes
. Logo
Passo 3
Procuramos uma solução particular
somando contribuições para cada termo do segundo membro. Primeiro, para
tentamos
Então
e no lugar de
vem
ou seja
Passo 4
Para
notamos que
faz parte da solução homogênea, há ressonância de ordem 1, e escolhemos
Calculando
e impondo
dá
logo
Passo 5
A solução geral é
Calculamos a derivada
Em
as condições iniciais geram