Para cada um dos itens a seguir, determine a solução geral da equação diferencial:
(d) y^{\prime \prime}+y=4 x+10 \sin x, y(\pi)=0, y^{\prime}(\pi)=2.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 4x + 10\sin x
e condições iniciais y(\pi)=0, y'(\pi)=2.
Conteúdo: equações lineares homogêneas e não homogêneas de 2º ordem e método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos pela solução da equação homogênea associada
y_h'' + y_h = 0.
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=\pm i. Logo
y_h(x)=A\cos x + B\sin x.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p somando contribuições para cada termo do segundo membro. Primeiro, para 4x tentamos
y_{p1}(x)=a x + b.
Então y_{p1}''=0 e no lugar de y''+y vem
0 + (a x + b)=4x\quad\Longrightarrow\quad a=4,\;b=0,
ou seja
y_{p1}(x)=4x.

Passo 4

Para 10\sin x notamos que \sin x faz parte da solução homogênea, há ressonância de ordem 1, e escolhemos
y_{p2}(x)=x\bigl(C\cos x + D\sin x\bigr).
Calculando
y_{p2}''+y_{p2}=2D\cos x - 2C\sin x
e impondo 2D\cos x - 2C\sin x = 10\sin x
-2C=10\\ \Rightarrow\\ C=-5,\quad 2D=0\\ \Rightarrow\\ D=0,
logo
y_{p2}(x)=-5x\cos x.

Passo 5

A solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_{p1}(x)+y_{p2}(x) =A\cos x + B\sin x + 4x -5x\cos x.
Calculamos a derivada
y'(x)=-A\sin x + B\cos x +4 -5\bigl(\cos x - x\sin x\bigr).
Em x=\pi as condições iniciais geram
y(\pi)=-A +9\pi =0\\ \Rightarrow\\ A=9\pi,
y'(\pi)=-B+9=2\\ \Rightarrow\\ B=7.

Resposta

\boxed{y(x) = (9\pi - 5x)\cos x \;+\; 7\sin x \;+\; 4x.}

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