Resolva
(b) \frac{d^{5} y}{d x^{5}}-2 \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+17 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
\frac{d^{5}y}{dx^{5}} \;-\;2\,\frac{d^{4}y}{dx^{4}} \;+\;17\,\frac{d^{3}y}{dx^{3}}=0.
O método é usar a hipótese de solução y=e^{rx} para obter a equação característica e então construir a solução geral a partir das raízes dessa equação.

Passo 2

Assumindo y=e^{rx} e substituindo, cada derivada gera um fator r. Logo a equação característica é
r^{5}-2r^{4}+17r^{3}=0.

Passo 3

Fatoramos em comum r^{3}:
r^{3}\,\bigl(r^{2}-2r+17\bigr)=0.

Passo 4

As raízes vêm de duas partes:
  1. r^{3}=0 dá a raiz real r=0 de multiplicidade 3.
  2. r^{2}-2r+17=0 tem raízes complexas conjugadas
r = \frac{2\pm\sqrt{4-68}}{2} = 1\pm4\,i.

Passo 5

Para a raiz real r=0 de multiplicidade 3, os termos independentes são \;C_{1},\,C_{2}x,\,C_{3}x^{2}.
Para as raízes complexas 1\pm4i, o par gera o termo real \;e^{x}\bigl(C_{4}\cos(4x)+C_{5}\sin(4x)\bigr).

Resposta

\displaystyle y(x)=C_{1}+C_{2}\,x+C_{3}\,x^{2} +e^{x}\bigl(C_{4}\cos(4x)+C_{5}\sin(4x)\bigr),
onde C_{1},\dots,C_{5} são constantes arbitrárias.

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