Encontre funções linearmente independentes que são anuladas pelo operador
(a) D^{n};

Passo 1

O enunciado pede funções linearmente independentes que satisfazem
D^{n}f(x)=0,
onde D^{n} é o operador “ n-ésima derivada”. Em outras palavras, buscamos n funções cuja derivada de ordem n seja identicamente zero.

Passo 2

Para qualquer monômio f(x)=x^{k}\), temos \[D^{n}x^{k}=\frac{d^{n}}{dx^{n}}\,x^{k} =\begin{cases} k(k-1)\cdots(k-n+1)\,x^{\,k-n},&k\ge n,\\\\ 0,&k<n. \end{cases}
Logo, sempre que k<n\], \(D^{n}x^{k}=0.

Passo 3

Os monômios
1=x^{0},\;x^{1},\;x^{2},\;\dots,\;x^{\,n-1}
são todos anulados por D^{n} e, por terem graus distintos, formam um conjunto de n funções linearmente independentes.

Resposta

\{\,1,\;x,\;x^{2},\;\dots,\;x^{\,n-1}\}

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