Questōo 2) Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow \infty} x \cdot \operatorname{sen}(1 / x)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}x\cdot\operatorname{sen}\bigl(1/x\bigr).
Aqui vemos a forma do tipo \infty\cdot0, pois quando x\to\infty temos 1/x\to0 e, portanto, \operatorname{sen}(1/x)\to0. Para resolver usamos a substituição u=1/x e o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 2

Defina
u = \frac1x.
Então, à medida que x\to\infty, segue que u\to0^+. Reescrevendo o termo em x, temos
x\cdot\operatorname{sen}\bigl(1/x\bigr) =\frac{1}{u}\,\operatorname{sen}(u) =\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}.

Passo 3

Aplicamos o limite fundamental para u\to0:
\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Como a expressão em x foi transformada em \operatorname{sen}(u)/u, o limite procurado também vale 1.

Resposta

1

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