Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
. Encontre: a) A massa do sólido. Resp:
b) О
. Resp:
c) Os momentos de inércia. Resp:
b) О
c) Os momentos de inércia. Resp:
Passo 1
O enunciado pede para um cubo no primeiro octante com
e densidade
:
– Calcular a massa .
– Calcular o centro de massa
– Calcular a massa
– Calcular o centro de massa
– Calcular os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados, por exemplo
e usar simetria para
e
.
Passo 2
Calculamos a massa
Cada integral fatora-se:
Logo
Passo 3
Para
calculamos
Separando termos e integrando de 0 a 1 em cada variável obtém-se
somando
Assim
Pela simetria do cubo e da densidade,
.
Passo 4
Para
temos
Cada termo integra-se de 0 a 1 em
. Os resultados são
respectivamente, somando
respectivamente, somando
Por simetria do sólido e da densidade,
.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)