Um cubo sólido no 1^{\circ} octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=1 e z=1. Sua densidade é \rho(x, y, z)=x+y+z+1. Encontre: a) A massa do sólido. Resp: m=\frac{5}{2}
b) О C M. Resp: \left(\frac{8}{15}, \frac{8}{15}, \frac{8}{15}\right)
c) Os momentos de inércia. Resp: I x=I y+I z=\frac{11}{6}

Passo 1

O enunciado pede para um cubo no primeiro octante com 0\le x,y,z\le1 e densidade \rho(x,y,z)=x+y+z+1:
– Calcular a massa m=\displaystyle\iiint \rho\,dV.
– Calcular o centro de massa
\bar x=\frac1m\iiint x\,\rho\,dV,\quad \bar y=\frac1m\iiint y\,\rho\,dV,\quad \bar z=\frac1m\iiint z\,\rho\,dV.
– Calcular os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados, por exemplo
I_x=\iiint (y^2+z^2)\,\rho\,dV,
e usar simetria para I_y e I_z.

Passo 2

Calculamos a massa
m=\int_0^1\!\!\int_0^1\!\!\int_0^1 (x+y+z+1)\,dx\,dy\,dz =\int_0^1\!\!\int_0^1\!\!\int_0^1 x\,dx\,dy\,dz +\int_0^1\!\!\int_0^1\!\!\int_0^1 y\,dx\,dy\,dz +\int_0^1\!\!\int_0^1\!\!\int_0^1 z\,dx\,dy\,dz +\int_0^1\!\!\int_0^1\!\!\int_0^1 1\,dx\,dy\,dz.
Cada integral fatora-se:
\int_0^1 x\,dx=\tfrac12,\quad \int_0^1 y\,dy=\tfrac12,\quad \int_0^1 z\,dz=\tfrac12,\quad \int_0^1 1\,du=1.
Logo
m=\tfrac12+\tfrac12+\tfrac12+1=\tfrac{5}{2}.

Passo 3

Para \bar x calculamos
\iiint x\,\rho\,dV =\iiint (x^2 +xy +xz +x)\,dV.
Separando termos e integrando de 0 a 1 em cada variável obtém-se
\int x^2\,dV=\tfrac13,\quad \int xy\,dV=\tfrac14,\quad \int xz\,dV=\tfrac14,\quad \int x\,dV=\tfrac12,
somando
\iiint x\,\rho\,dV =\tfrac13+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac12 =\tfrac{4}{3}.
Assim
\bar x=\frac{\tfrac{4}{3}}{m}=\frac{\tfrac{4}{3}}{\tfrac{5}{2}} =\frac{8}{15}.
Pela simetria do cubo e da densidade, \bar y=\bar z=\tfrac{8}{15}.

Passo 4

Para I_x temos
I_x=\iiint (y^2+z^2)(x+y+z+1)\,dV =\iiint\bigl(xy^2+y^3+y^2z+y^2+xz^2+yz^2+z^3+z^2\bigr)\,dV.
Cada termo integra-se de 0 a 1 em x,y,z. Os resultados são \tfrac16,\tfrac14,\tfrac16,\tfrac13,\tfrac16,\tfrac16,\tfrac14,\tfrac13
respectivamente, somando
I_x=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3} +\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3} =\frac{11}{6}.
Por simetria do sólido e da densidade, I_y=I_z=I_x=\tfrac{11}{6}.

Resposta

a) m=\tfrac{5}{2}.
b) C_M=\bigl(\tfrac{8}{15},\tfrac{8}{15},\tfrac{8}{15}\bigr).
c) I_x=I_y=I_z=\tfrac{11}{6}.

Exercícios relacionados