Em cada um dos itens a seguir, encontre uma matriz X tal que
[lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5] X=[lll-2 & 1 & 1 -2 & 1 & 1 -2 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede uma matriz XinR^3times 3 que satisfaça
A,X = B,
com
A = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5, B = -2 & 1 & 1 -2 & 1 & 1 -2 & 1 & 1
Como veremos, det(A)=0 e, portanto, existem infinitas soluções. Precisamos achar o núcleo de A e uma solução particular.

Passo 2

Calculamos o determinante de A:
det(A) =1cdot3&44&5 -2cdot2&43&5 +3cdot2&33&4 =-1+4-3=0
Logo A é singular e diml(ker Ar)=1.

Passo 3

Para encontrar
isto é
Subtraindo a primeira equação da segunda vem obtemos , .
Tomando , um vetor base do núcleo é
ou seja .

Passo 4

Vamos achar uma solução particular para cada coluna bj de B. Note que
b2=b3=111, b1=-2111
Procuramos u tal que Au=(1,1,1)^T. Vemos que
A-110 =-1+2cdot1+3cdot0 -2+3cdot1+4cdot0 -3+4cdot1+5cdot0 =111
Portanto uma solução particular é
x2^p=x3^p =-110, x1^p =-2,-110 =2-20

Passo 5

A solução geral para cada coluna é
xj =xj^p + tj,n, tjinR
Assim a matriz X genérica é
X =2 & -1 & -1 -2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 ;+ 1 -2 1 t1 & t2 & t3,
once t1,t2,t3 são parâmetros livres.

Resposta

X =2 & -1 & -1 -2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 + 1 -2 1 t1 & t2 & t3, t1,t2,t3inR

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