Sejam a, b in R e considere o sistema linear
l x1+x2+x3=1 2 x1+a x2-x3=2 a 3 x1+2 x2+b x3=0
nas incógnitas x1, x2, x3. Assinale a alternativa que contém as condições exatas sobre a e b que tornam esse sistema impossível.
(A) (a-2)(b+3)+1=0 e a neq 1
(B) (2-a)(3-b)-3=0 e a neq 4
(C) a b-3 a-2 b+7 neq 0
(D) (a-2)(b+3) neq 0 e a b-3 a neq 0
(E) a neq 1 e b=2 a

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x1+x2+x3=1, 2x1+a x2-x3=2a, 3x1+2x2+b x3=0,
com parâmetros a,binR, e pede as condições sobre a e b para o sistema ser impossível. Vamos usar teoria de determinantes e posto de matriz: o sistema é impossível exatamente quando o determinante da matriz de coeficientes é zero (posto da matriz de coeficientes < 3) mas o posto da matriz ampliada é 3.

Passo 2

Escrevendo a matriz de coeficientes
A= 1 & 1 & 1 2 & a & -1 3 & 2 & b ,
calculamos
det(A) =1cdotdet!a & -12 & b -1cdotdet!2 & -13 & b +1cdotdet!2 & a3 & 2
Fazendo as contas, obtemos
det(A)=ab-3a-2b+3

Passo 3

A condição para o sistema ser singular (posto < 3) é
det(A)=ab-3a-2b+3=0
Nesse caso, as três equações de coeficientes são linearmente dependentes.

Passo 4

Para ver quando fica impossível, achamos a combinação linear das linhas de A que dá zero. Resolve-se
alpha(1,1,1)+beta(2,a,-1)+gamma(3,2,b)=(0,0,0)
sob a condição ab-3a-2b+3=0. Uma solução é
(alpha,beta,gamma)=(4-3a,;1,;a-2)
Aplicando essa mesma combinação nos termos independentes, devemos ter
(4-3a)cdot1 +1cdot(2a)+(a-2)cdot0=0
para o sistema ser consistente, ou seja
4-3a+2a=4-a=0Longrightarrow a=4

Passo 5

Concluímos que o sistema é impossível exatamente quando
ab-3a-2b+3=0, aneq4
Isso coincide com a condição da alternativa (B):
(2-a)(3-b)-3=0 e aneq4,
pois expandindo (2-a)(3-b)-3 ab-3a-2b+3=0.

Resposta

(B) (2-a)(3-b)-3=0 e aneq4.

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