Em cada um dos itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left{ \begin{aligned} t y^{\prime}+2 y & =t^{2}-t+1 ;\quad t>0 \\ y(1) & =1 / 2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial para a equação diferencial de primeira ordem linear
t\,y' + 2\,y = t^2 - t + 1,\quad t>0,
com condição inicial y(1)=\tfrac12. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo a equação por t (válido pois t>0), colocamos em forma padrão y' + p(t)\,y = g(t). Obtemos
y' + \frac{2}{t}\,y = t - 1 + \frac{1}{t}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\biggl(\int \frac{2}{t}\,dt\biggr) = \exp(2\ln t) = t^2.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(t)=t^2 obtemos uma derivada exata
(t^2\,y)' = t^2\Bigl(t - 1 + \frac{1}{t}\Bigr) = t^3 - t^2 + t.
Integramos em relação a t:
t^2\,y = \int (t^3 - t^2 + t)\,dt = \frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + C.

Passo 5

Da expressão acima segue a solução geral
y = \frac{t^2}{4} - \frac{t}{3} + \frac12 + C\,t^{-2}.
Aplicando a condição y(1)=\tfrac12 leva a
\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac12 + C = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{12}.

Resposta

y(t) = \frac{t^2}{4} - \frac{t}{3} + \frac12 + \frac{1}{12\,t^2}.

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