Em cada um dos itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left{ \begin{aligned} y^{\prime}+2 y & =t e^{-2 t} \\ y(1) & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t) + 2\,y(t) = t\,e^{-2t},\\\ y(1) = 0, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t) = e^{\int 2\,dt} = e^{2t}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t)=e^{2t}, obtemos
e^{2t}y' + 2\,e^{2t}y = t\,e^{-2t} \cdot e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{2t}y\bigr)' = t.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \bigl(e^{2t}y\bigr)' \,dt = \int t\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{2t}y = \frac{t^2}{2} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y(t):
y(t) = e^{-2t}\Bigl(\frac{t^2}{2} + C\Bigr).

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = y(1) = e^{-2}\Bigl(\tfrac{1^2}{2} + C\Bigr) \;\Longrightarrow\; \tfrac12 + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac12.

Passo 7

Substituímos C na solução geral para obter a solução particular:
y(t) = e^{-2t}\Bigl(\tfrac{t^2}{2} - \tfrac12\Bigr) = \tfrac12\,e^{-2t}\,(t^2 - 1).

Resposta

\boxed{y(t) = \frac12\,e^{-2t}\,(t^2 - 1).}

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