Em cada um dos itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left{ \begin{aligned} y^{\prime}-2 y & =e^{2 t} \\ y(0) & =2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t) - 2\,y(t) = e^{2t},\\\ y(0)=2. \end{cases}
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t) = e^{\int -2\,dt} = e^{-2t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t). Isso dá
e^{-2t}y' - 2\,e^{-2t}y = e^{-2t}e^{2t} = 1,
e reconhecemos o lado esquerdo como a derivada de
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-2t}\bigr) = 1.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
y\,e^{-2t} = \int 1\,dt = t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y e aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y(t) = e^{2t}\bigl(t + C\bigr),
em t=0 vem 2 = e^0\,(0 + C), logo C = 2. Assim,
y(t) = e^{2t}\bigl(t + 2\bigr).

Resposta

y(t) = (t + 2)\,e^{2t}

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