Em cada um dos itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left{ \begin{aligned} t y^{\prime}+2 y & =\sin (t) ;\quad t>0 \\ y(\pi / 2) & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
t\,y' + 2\,y = \sin(t),\quad t>0,
com a condição y(\pi/2)=1. Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem linear. Vamos colocá-la em forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por t (já que t>0) obtemos a forma
y' + \frac{2}{t}\,y = \frac{\sin(t)}{t}.
O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) = e^{2\ln t} = t^2.

Passo 3

Multiplicando a equação por \mu(t)=t^2 fica
t^2y' + 2t\,y = t^2\frac{\sin(t)}{t} = t\sin(t),
isto é,
\frac{d}{dt}\bigl(t^2y\bigr) = t\sin(t).
Integrando em t,
t^2y = \int t\sin(t)\,dt = -t\cos(t) + \sin(t) + C.

Passo 4

Isolando y,
y(t) = \frac{-t\cos(t) + \sin(t) + C}{t^2}.
Usando y(\tfrac\pi2)=1:
1 = \frac{-\tfrac\pi2\cos(\tfrac\pi2)+\sin(\tfrac\pi2)+C}{(\tfrac\pi2)^2} = \frac{0 + 1 + C}{\pi^2/4} = \frac{1+C}{\pi^2/4},
logo 1+C=\pi^2/4 e
C = \frac{\pi^2}{4} - 1.

Passo 5

Substituindo C em y(t), obtemos a solução geral do PVI:
y(t) = \frac{-t\cos(t) + \sin(t) + \frac{\pi^2}{4} - 1}{t^2}.

Resposta

y(t) = \frac{\sin(t) - t\cos(t) + \tfrac{\pi^2}{4} - 1}{t^2}.

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