Em cada um dos itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left{ \begin{aligned} t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y & =e^{-t} ;\quad t<0 \\ y(-1) & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
t^{3}y'+4t^{2}y = e^{-t},\quad t<0,\qquad y(-1)=0
Este é um EDO linear de primeira ordem. Vamos colocá-lo na forma padrão
y' + p(t)y = g(t)
e usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo a equação por t^{3} (válido para t<0) obtemos
y' + \frac{4}{t}y = \frac{e^{-t}}{t^{3}}.
Aqui p(t)=4/t e g(t)=e^{-t}/t^{3}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \frac{4}{t}\,dt\Bigr) = \exp(4\ln|t|) = t^{4}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t) resulta em
t^{4}y' +4t^{3}y = t\,e^{-t},
isto é,
\bigl(t^{4}y\bigr)' = t\,e^{-t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
t^{4}y = \int t\,e^{-t}\,dt + C.
Fazendo integração por partes em \int t\,e^{-t}dt, com u=t, dv=e^{-t}dt, obtemos
\int t\,e^{-t}dt = -t\,e^{-t} - e^{-t} + \widetilde C = -(t+1)e^{-t} + \widetilde C.
Logo
t^{4}y = -(t+1)e^{-t} + C,
onde C é constante geral.

Passo 5

Usando a condição y(-1)=0, temos
(-1)^{4}y(-1)=0 = -\bigl((-1)+1\bigr)e^{-(-1)} + C = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Portanto a solução é
y(t) = -\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\quad t<0.

Resposta

y(t) = -\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\quad t<0.

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