Para cada um dos itens a seguir, faça o que se pede. Resolva os PVIs
(t+x+3) d t+d x=0, \quad x(0)=1

Passo 1

O problema apresenta o PVI
(t + x + 3)\,dt + dx = 0,
com condição inicial x(0)=1.
Repare que, dividindo por dt, isso vira uma equação diferencial de primeira ordem linear na forma
\frac{dx}{dt} + P(t)\,x = Q(t),
e iremos usar fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Dividindo a equação por dt e passando x para o 2.º membro, obtemos
\frac{dx}{dt} = -\bigl(t + x + 3\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dt} + x = -t - 3.
Aqui identificamos P(t)=1 e Q(t)=-t-3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\biggl(\int P(t)\,dt\biggr) = \exp\!\biggl(\int 1\,dt\biggr) = e^t.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t), fica
e^t\frac{dx}{dt} + e^t\,x = (-t-3)e^t,
que é exatamente
\frac{d}{dt}\bigl(xe^t\bigr) = (-t-3)e^t.

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
xe^t = \int(-t-3)e^t\,dt.
Para isso, separamos
\int(-t)e^t\,dt = -(t e^t - e^t) = -t e^t + e^t,
\int(-3)e^t\,dt = -3e^t.
Somando e incluindo a constante C,
\int(-t-3)e^t\,dt = -t e^t + e^t - 3e^t + C = -t e^t - 2e^t + C.
Logo
xe^t = -t e^t - 2e^t + C \quad\Longrightarrow\quad x(t) = -t - 2 + C\,e^{-t}.

Passo 5

Aplicamos x(0)=1:
1 = -0 - 2 + C\cdot e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = 3.
Assim a solução particular fica
x(t) = -t - 2 + 3e^{-t}.

Resposta

x(t) = -t - 2 + 3e^{-t}.

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